Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4780 / 3656
↖ ↑ ↗
← N 18.979026°
E 30.058594°		 ← 4 620.85 m → N 18.979026°
E 30.102539°		 →
↑
4 621.40 m
↓
↑
4 621.40 m
↓
N 18.937465°
E 30.058594°		 ← 4 622 m →
21 357 450 m²		 N 18.937465°
E 30.102539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58355712890625 y=0.44635009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58355712890625 × 213)
    floor (0.58355712890625 × 8192)
    floor (4780.5)     		tx = 4780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44635009765625 × 213)
    floor (0.44635009765625 × 8192)
    floor (3656.5)     		ty = 3656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4780 / 3656 ti = "13/4780/3656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4780/3656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4780 ÷ 213
    4780 ÷ 8192     		x = 0.58349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3656 ÷ 213
    3656 ÷ 8192     		y = 0.4462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58349609375 × 2 - 1) × π
    0.1669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52462143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4462890625 × 2 - 1) × π
    0.107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.337475773325195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52462143} λ = 0.52462143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337475773325195))-π/2
    2×atan(1.40140565658159)-π/2
    2×0.951021409245768-π/2
    1.90204281849154-1.57079632675     		φ = 0.33124649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52462143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.058594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33124649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.979026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4780 KachelY 3656 0.52462143 0.33124649 30.058594 18.979026
    Oben rechts KachelX + 1 4781 KachelY 3656 0.52538842 0.33124649 30.102539 18.979026
    Unten links KachelX 4780 KachelY + 1 3657 0.52462143 0.33052111 30.058594 18.937465
    Unten rechts KachelX + 1 4781 KachelY + 1 3657 0.52538842 0.33052111 30.102539 18.937465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33124649-0.33052111) × R
    0.000725379999999998 × 6371000     		dl = 4621.39597999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33124649-0.33052111) × R
    0.000725379999999998 × 6371000     		dr = 4621.39597999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52462143-0.52538842) × cos(0.33124649) × R
    0.000766989999999912 × 0.945637692287967 × 6371000     		do = 4620.85223813571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52462143-0.52538842) × cos(0.33052111) × R
    0.000766989999999912 × 0.945873353021942 × 6371000     		du = 4622.00379273099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33124649)-sin(0.33052111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945637692287967-0.945873353021942)×R²
    abs(0.52538842-0.52462143)×0.000235660733975185×R²
    0.000766989999999912×0.000235660733975185×6371000²
    0.000766989999999912×0.000235660733975185×40589641000000     		ar = 21357449.7888642m²