Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47799 / 80843
↖ ↑ ↗
← S 38.709089°
W 48.716126°		 ← 238.33 m → S 38.709089°
W 48.713379°		 →
↑
238.34 m
↓
↑
238.34 m
↓
S 38.711233°
W 48.716126°		 ← 238.33 m →
56 803 m²		 S 38.711233°
W 48.713379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364681243896484 y=0.616786956787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364681243896484 × 217)
    floor (0.364681243896484 × 131072)
    floor (47799.5)     		tx = 47799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616786956787109 × 217)
    floor (0.616786956787109 × 131072)
    floor (80843.5)     		ty = 80843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47799 / 80843 ti = "17/47799/80843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47799/80843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47799 ÷ 217
    47799 ÷ 131072     		x = 0.364677429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80843 ÷ 217
    80843 ÷ 131072     		y = 0.616783142089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364677429199219 × 2 - 1) × π
    -0.270645141601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.85025679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616783142089844 × 2 - 1) × π
    -0.233566284179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.733770122484199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85025679} λ = -0.85025679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.733770122484199))-π/2
    2×atan(0.480095554755976)-π/2
    2×0.447597633799783-π/2
    0.895195267599565-1.57079632675     		φ = -0.67560106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85025679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.716126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67560106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.709089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47799 KachelY 80843 -0.85025679 -0.67560106 -48.716126 -38.709089
    Oben rechts KachelX + 1 47800 KachelY 80843 -0.85020885 -0.67560106 -48.713379 -38.709089
    Unten links KachelX 47799 KachelY + 1 80844 -0.85025679 -0.67563847 -48.716126 -38.711233
    Unten rechts KachelX + 1 47800 KachelY + 1 80844 -0.85020885 -0.67563847 -48.713379 -38.711233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67560106--0.67563847) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dl = 238.339110000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67560106--0.67563847) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dr = 238.339110000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85025679--0.85020885) × cos(-0.67560106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.780331209349655 × 6371000     		do = 238.333237060557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85025679--0.85020885) × cos(-0.67563847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.780307813844519 × 6371000     		du = 238.326091471088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67560106)-sin(-0.67563847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780331209349655-0.780307813844519)×R²
    abs(-0.85020885--0.85025679)×2.33955051361923e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33955051361923e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33955051361923e-05×40589641000000     		ar = 56803.2800743485m²