Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47799 / 55061
↖ ↑ ↗
← N 27.632441°
W 48.716126°		 ← 270.59 m → N 27.632441°
W 48.713379°		 →
↑
270.58 m
↓
↑
270.58 m
↓
N 27.630007°
W 48.716126°		 ← 270.60 m →
73 216 m²		 N 27.630007°
W 48.713379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364681243896484 y=0.420085906982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364681243896484 × 217)
    floor (0.364681243896484 × 131072)
    floor (47799.5)     		tx = 47799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420085906982422 × 217)
    floor (0.420085906982422 × 131072)
    floor (55061.5)     		ty = 55061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47799 / 55061 ti = "17/47799/55061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47799/55061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47799 ÷ 217
    47799 ÷ 131072     		x = 0.364677429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55061 ÷ 217
    55061 ÷ 131072     		y = 0.420082092285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364677429199219 × 2 - 1) × π
    -0.270645141601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.85025679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420082092285156 × 2 - 1) × π
    0.159835815429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.502139023520088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85025679} λ = -0.85025679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502139023520088))-π/2
    2×atan(1.65225169876446)-π/2
    2×1.02653669700784-π/2
    2.05307339401568-1.57079632675     		φ = 0.48227707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85025679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.716126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48227707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.632441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47799 KachelY 55061 -0.85025679 0.48227707 -48.716126 27.632441
    Oben rechts KachelX + 1 47800 KachelY 55061 -0.85020885 0.48227707 -48.713379 27.632441
    Unten links KachelX 47799 KachelY + 1 55062 -0.85025679 0.48223460 -48.716126 27.630007
    Unten rechts KachelX + 1 47800 KachelY + 1 55062 -0.85020885 0.48223460 -48.713379 27.630007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48227707-0.48223460) × R
    4.24699999999611e-05 × 6371000     		dl = 270.576369999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48227707-0.48223460) × R
    4.24699999999611e-05 × 6371000     		dr = 270.576369999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85025679--0.85020885) × cos(0.48227707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88594112062618 × 6371000     		do = 270.589222363503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85025679--0.85020885) × cos(0.48223460) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885960817316618 × 6371000     		du = 270.595238239755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48227707)-sin(0.48223460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88594112062618-0.885960817316618)×R²
    abs(-0.85020885--0.85025679)×1.96966904373319e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96966904373319e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96966904373319e-05×40589641000000     		ar = 73215.8634362006m²