Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47796 / 55108
↖ ↑ ↗
← N 27.518015°
W 48.724365°		 ← 270.87 m → N 27.518015°
W 48.721619°		 →
↑
270.83 m
↓
↑
270.83 m
↓
N 27.515580°
W 48.724365°		 ← 270.88 m →
73 361 m²		 N 27.515580°
W 48.721619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364658355712891 y=0.420444488525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364658355712891 × 217)
    floor (0.364658355712891 × 131072)
    floor (47796.5)     		tx = 47796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420444488525391 × 217)
    floor (0.420444488525391 × 131072)
    floor (55108.5)     		ty = 55108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47796 / 55108 ti = "17/47796/55108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47796/55108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47796 ÷ 217
    47796 ÷ 131072     		x = 0.364654541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55108 ÷ 217
    55108 ÷ 131072     		y = 0.420440673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.27069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85040060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420440673828125 × 2 - 1) × π
    0.15911865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.499885989237946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85040060} λ = -0.85040060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499885989237946))-π/2
    2×atan(1.64853330944665)-π/2
    2×1.02553814818426-π/2
    2.05107629636851-1.57079632675     		φ = 0.48027997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85040060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.724365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48027997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.518015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47796 KachelY 55108 -0.85040060 0.48027997 -48.724365 27.518015
    Oben rechts KachelX + 1 47797 KachelY 55108 -0.85035266 0.48027997 -48.721619 27.518015
    Unten links KachelX 47796 KachelY + 1 55109 -0.85040060 0.48023746 -48.724365 27.515580
    Unten rechts KachelX + 1 47797 KachelY + 1 55109 -0.85035266 0.48023746 -48.721619 27.515580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48027997-0.48023746) × R
    4.25099999999956e-05 × 6371000     		dl = 270.831209999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48027997-0.48023746) × R
    4.25099999999956e-05 × 6371000     		dr = 270.831209999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85040060--0.85035266) × cos(0.48027997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886865603702446 × 6371000     		do = 270.871583291189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85040060--0.85035266) × cos(0.48023746) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886885243689688 × 6371000     		du = 270.877581848826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48027997)-sin(0.48023746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886865603702446-0.886885243689688)×R²
    abs(-0.85035266--0.85040060)×1.96399872414155e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96399872414155e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96399872414155e-05×40589641000000     		ar = 73361.2909668069m²