Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47795 / 55158
↖ ↑ ↗
← N 27.396155°
W 48.727112°		 ← 271.17 m → N 27.396155°
W 48.724365°		 →
↑
271.15 m
↓
↑
271.15 m
↓
N 27.393717°
W 48.727112°		 ← 271.18 m →
73 529 m²		 N 27.393717°
W 48.724365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364650726318359 y=0.420825958251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364650726318359 × 217)
    floor (0.364650726318359 × 131072)
    floor (47795.5)     		tx = 47795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420825958251953 × 217)
    floor (0.420825958251953 × 131072)
    floor (55158.5)     		ty = 55158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47795 / 55158 ti = "17/47795/55158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47795/55158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47795 ÷ 217
    47795 ÷ 131072     		x = 0.364646911621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55158 ÷ 217
    55158 ÷ 131072     		y = 0.420822143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364646911621094 × 2 - 1) × π
    -0.270706176757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.85044854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420822143554688 × 2 - 1) × π
    0.158355712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.497489144256943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85044854} λ = -0.85044854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497489144256943))-π/2
    2×atan(1.64458676217826)-π/2
    2×1.02447472058398-π/2
    2.04894944116797-1.57079632675     		φ = 0.47815311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85044854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.727112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47815311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.396155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47795 KachelY 55158 -0.85044854 0.47815311 -48.727112 27.396155
    Oben rechts KachelX + 1 47796 KachelY 55158 -0.85040060 0.47815311 -48.724365 27.396155
    Unten links KachelX 47795 KachelY + 1 55159 -0.85044854 0.47811055 -48.727112 27.393717
    Unten rechts KachelX + 1 47796 KachelY + 1 55159 -0.85040060 0.47811055 -48.724365 27.393717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47815311-0.47811055) × R
    4.25599999999693e-05 × 6371000     		dl = 271.149759999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47815311-0.47811055) × R
    4.25599999999693e-05 × 6371000     		dr = 271.149759999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85044854--0.85040060) × cos(0.47815311) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.887846264865356 × 6371000     		do = 271.171102453187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85044854--0.85040060) × cos(0.47811055) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.887865847628452 × 6371000     		du = 271.177083533097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47815311)-sin(0.47811055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887846264865356-0.887865847628452)×R²
    abs(-0.85040060--0.85044854)×1.95827630961043e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95827630961043e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95827630961043e-05×40589641000000     		ar = 73528.790244299m²