Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47795 / 55153
↖ ↑ ↗
← N 27.408348°
W 48.727112°		 ← 271.14 m → N 27.408348°
W 48.724365°		 →
↑
271.15 m
↓
↑
271.15 m
↓
N 27.405909°
W 48.727112°		 ← 271.15 m →
73 521 m²		 N 27.405909°
W 48.724365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364650726318359 y=0.420787811279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364650726318359 × 217)
    floor (0.364650726318359 × 131072)
    floor (47795.5)     		tx = 47795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420787811279297 × 217)
    floor (0.420787811279297 × 131072)
    floor (55153.5)     		ty = 55153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47795 / 55153 ti = "17/47795/55153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47795/55153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47795 ÷ 217
    47795 ÷ 131072     		x = 0.364646911621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55153 ÷ 217
    55153 ÷ 131072     		y = 0.420783996582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364646911621094 × 2 - 1) × π
    -0.270706176757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.85044854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420783996582031 × 2 - 1) × π
    0.158432006835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.497728828755043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85044854} λ = -0.85044854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497728828755043))-π/2
    2×atan(1.64498099137436)-π/2
    2×1.02458111620892-π/2
    2.04916223241783-1.57079632675     		φ = 0.47836591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85044854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.727112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47836591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.408348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47795 KachelY 55153 -0.85044854 0.47836591 -48.727112 27.408348
    Oben rechts KachelX + 1 47796 KachelY 55153 -0.85040060 0.47836591 -48.724365 27.408348
    Unten links KachelX 47795 KachelY + 1 55154 -0.85044854 0.47832335 -48.727112 27.405909
    Unten rechts KachelX + 1 47796 KachelY + 1 55154 -0.85040060 0.47832335 -48.724365 27.405909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47836591-0.47832335) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dl = 271.149760000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47836591-0.47832335) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dr = 271.149760000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85044854--0.85040060) × cos(0.47836591) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.887748326927532 × 6371000     		do = 271.141189686053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85044854--0.85040060) × cos(0.47832335) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.887767917731291 × 6371000     		du = 271.147173221789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47836591)-sin(0.47832335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887748326927532-0.887767917731291)×R²
    abs(-0.85040060--0.85044854)×1.95908037589065e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95908037589065e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95908037589065e-05×40589641000000     		ar = 73520.6797377769m²