Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47794 / 55154
↖ ↑ ↗
← N 27.405909°
W 48.729858°		 ← 271.09 m → N 27.405909°
W 48.727112°		 →
↑
271.15 m
↓
↑
271.15 m
↓
N 27.403471°
W 48.729858°		 ← 271.10 m →
73 507 m²		 N 27.403471°
W 48.727112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364643096923828 y=0.420795440673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364643096923828 × 217)
    floor (0.364643096923828 × 131072)
    floor (47794.5)     		tx = 47794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420795440673828 × 217)
    floor (0.420795440673828 × 131072)
    floor (55154.5)     		ty = 55154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47794 / 55154 ti = "17/47794/55154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47794/55154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47794 ÷ 217
    47794 ÷ 131072     		x = 0.364639282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55154 ÷ 217
    55154 ÷ 131072     		y = 0.420791625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364639282226562 × 2 - 1) × π
    -0.270721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85049647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420791625976562 × 2 - 1) × π
    0.158416748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.497680891855423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85049647} λ = -0.85049647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497680891855423))-π/2
    2×atan(1.6449021379757)-π/2
    2×1.02455983802289-π/2
    2.04911967604578-1.57079632675     		φ = 0.47832335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85049647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.729858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47832335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.405909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47794 KachelY 55154 -0.85049647 0.47832335 -48.729858 27.405909
    Oben rechts KachelX + 1 47795 KachelY 55154 -0.85044854 0.47832335 -48.727112 27.405909
    Unten links KachelX 47794 KachelY + 1 55155 -0.85049647 0.47828079 -48.729858 27.403471
    Unten rechts KachelX + 1 47795 KachelY + 1 55155 -0.85044854 0.47828079 -48.727112 27.403471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47832335-0.47828079) × R
    4.25599999999693e-05 × 6371000     		dl = 271.149759999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47832335-0.47828079) × R
    4.25599999999693e-05 × 6371000     		dr = 271.149759999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85049647--0.85044854) × cos(0.47832335) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.887767917731291 × 6371000     		do = 271.090613526838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85049647--0.85044854) × cos(0.47828079) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.887787506926988 × 6371000     		du = 271.096595323402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47832335)-sin(0.47828079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887767917731291-0.887787506926988)×R²
    abs(-0.85044854--0.85049647)×1.95891956973337e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.95891956973337e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.95891956973337e-05×40589641000000     		ar = 73506.9657884722m²