Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47794 / 55090
↖ ↑ ↗
← N 27.561852°
W 48.729858°		 ← 270.71 m → N 27.561852°
W 48.727112°		 →
↑
270.77 m
↓
↑
270.77 m
↓
N 27.559417°
W 48.729858°		 ← 270.71 m →
73 299 m²		 N 27.559417°
W 48.727112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364643096923828 y=0.420307159423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364643096923828 × 217)
    floor (0.364643096923828 × 131072)
    floor (47794.5)     		tx = 47794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420307159423828 × 217)
    floor (0.420307159423828 × 131072)
    floor (55090.5)     		ty = 55090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47794 / 55090 ti = "17/47794/55090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47794/55090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47794 ÷ 217
    47794 ÷ 131072     		x = 0.364639282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55090 ÷ 217
    55090 ÷ 131072     		y = 0.420303344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364639282226562 × 2 - 1) × π
    -0.270721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85049647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420303344726562 × 2 - 1) × π
    0.159393310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.500748853431107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85049647} λ = -0.85049647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500748853431107))-π/2
    2×atan(1.64995638368221)-π/2
    2×1.0259206941745-π/2
    2.05184138834901-1.57079632675     		φ = 0.48104506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85049647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.729858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48104506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.561852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47794 KachelY 55090 -0.85049647 0.48104506 -48.729858 27.561852
    Oben rechts KachelX + 1 47795 KachelY 55090 -0.85044854 0.48104506 -48.727112 27.561852
    Unten links KachelX 47794 KachelY + 1 55091 -0.85049647 0.48100256 -48.729858 27.559417
    Unten rechts KachelX + 1 47795 KachelY + 1 55091 -0.85044854 0.48100256 -48.727112 27.559417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48104506-0.48100256) × R
    4.25000000000009e-05 × 6371000     		dl = 270.767500000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48104506-0.48100256) × R
    4.25000000000009e-05 × 6371000     		dr = 270.767500000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85049647--0.85044854) × cos(0.48104506) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.886511851556048 × 6371000     		do = 270.707058609752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85049647--0.85044854) × cos(0.48100256) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.886531515755572 × 6371000     		du = 270.713063309637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48104506)-sin(0.48100256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886511851556048-0.886531515755572)×R²
    abs(-0.85044854--0.85049647)×1.96641995231506e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.96641995231506e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.96641995231506e-05×40589641000000     		ar = 73299.486441964m²