Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47793 / 55155
↖ ↑ ↗
← N 27.403471°
W 48.732605°		 ← 271.15 m → N 27.403471°
W 48.729858°		 →
↑
271.15 m
↓
↑
271.15 m
↓
N 27.401032°
W 48.732605°		 ← 271.16 m →
73 524 m²		 N 27.401032°
W 48.729858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364635467529297 y=0.420803070068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364635467529297 × 217)
    floor (0.364635467529297 × 131072)
    floor (47793.5)     		tx = 47793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420803070068359 × 217)
    floor (0.420803070068359 × 131072)
    floor (55155.5)     		ty = 55155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47793 / 55155 ti = "17/47793/55155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47793/55155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47793 ÷ 217
    47793 ÷ 131072     		x = 0.364631652832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55155 ÷ 217
    55155 ÷ 131072     		y = 0.420799255371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364631652832031 × 2 - 1) × π
    -0.270736694335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.85054441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420799255371094 × 2 - 1) × π
    0.158401489257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.497632954955803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85054441} λ = -0.85054441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497632954955803))-π/2
    2×atan(1.64482328835695)-π/2
    2×1.02453855936735-π/2
    2.0490771187347-1.57079632675     		φ = 0.47828079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85054441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.732605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47828079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.403471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47793 KachelY 55155 -0.85054441 0.47828079 -48.732605 27.403471
    Oben rechts KachelX + 1 47794 KachelY 55155 -0.85049647 0.47828079 -48.729858 27.403471
    Unten links KachelX 47793 KachelY + 1 55156 -0.85054441 0.47823823 -48.732605 27.401032
    Unten rechts KachelX + 1 47794 KachelY + 1 55156 -0.85049647 0.47823823 -48.729858 27.401032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47828079-0.47823823) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dl = 271.149760000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47828079-0.47823823) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dr = 271.149760000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85054441--0.85049647) × cos(0.47828079) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.887787506926988 × 6371000     		do = 271.153156266381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85054441--0.85049647) × cos(0.47823823) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.887807094514588 × 6371000     		du = 271.159138819818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47828079)-sin(0.47823823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887787506926988-0.887807094514588)×R²
    abs(-0.85049647--0.85054441)×1.95875876002338e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95875876002338e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95875876002338e-05×40589641000000     		ar = 73523.9243400283m²