Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47792 / 55056
↖ ↑ ↗
← N 27.644606°
W 48.735352°		 ← 270.56 m → N 27.644606°
W 48.732605°		 →
↑
270.51 m
↓
↑
270.51 m
↓
N 27.642174°
W 48.735352°		 ← 270.57 m →
73 190 m²		 N 27.642174°
W 48.732605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364627838134766 y=0.420047760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364627838134766 × 217)
    floor (0.364627838134766 × 131072)
    floor (47792.5)     		tx = 47792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420047760009766 × 217)
    floor (0.420047760009766 × 131072)
    floor (55056.5)     		ty = 55056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47792 / 55056 ti = "17/47792/55056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47792/55056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47792 ÷ 217
    47792 ÷ 131072     		x = 0.3646240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55056 ÷ 217
    55056 ÷ 131072     		y = 0.4200439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3646240234375 × 2 - 1) × π
    -0.270751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85059235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4200439453125 × 2 - 1) × π
    0.159912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.502378708018189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85059235} λ = -0.85059235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502378708018189))-π/2
    2×atan(1.65264776534723)-π/2
    2×1.02664286428246-π/2
    2.05328572856492-1.57079632675     		φ = 0.48248940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85059235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.735352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48248940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.644606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47792 KachelY 55056 -0.85059235 0.48248940 -48.735352 27.644606
    Oben rechts KachelX + 1 47793 KachelY 55056 -0.85054441 0.48248940 -48.732605 27.644606
    Unten links KachelX 47792 KachelY + 1 55057 -0.85059235 0.48244694 -48.735352 27.642174
    Unten rechts KachelX + 1 47793 KachelY + 1 55057 -0.85054441 0.48244694 -48.732605 27.642174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48248940-0.48244694) × R
    4.24600000000219e-05 × 6371000     		dl = 270.51266000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48248940-0.48244694) × R
    4.24600000000219e-05 × 6371000     		dr = 270.51266000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85059235--0.85054441) × cos(0.48248940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885842622484829 × 6371000     		do = 270.559138495792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85059235--0.85054441) × cos(0.48244694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88586232252454 × 6371000     		du = 270.565155394999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48248940)-sin(0.48244694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885842622484829-0.88586232252454)×R²
    abs(-0.85054441--0.85059235)×1.97000397115232e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97000397115232e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97000397115232e-05×40589641000000     		ar = 73190.4860765563m²