Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47791 / 55055
↖ ↑ ↗
← N 27.647040°
W 48.738098°		 ← 270.50 m → N 27.647040°
W 48.735352°		 →
↑
270.58 m
↓
↑
270.58 m
↓
N 27.644606°
W 48.738098°		 ← 270.50 m →
73 191 m²		 N 27.644606°
W 48.735352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364620208740234 y=0.420040130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364620208740234 × 217)
    floor (0.364620208740234 × 131072)
    floor (47791.5)     		tx = 47791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420040130615234 × 217)
    floor (0.420040130615234 × 131072)
    floor (55055.5)     		ty = 55055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47791 / 55055 ti = "17/47791/55055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47791/55055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47791 ÷ 217
    47791 ÷ 131072     		x = 0.364616394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55055 ÷ 217
    55055 ÷ 131072     		y = 0.420036315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364616394042969 × 2 - 1) × π
    -0.270767211914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.85064028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420036315917969 × 2 - 1) × π
    0.159927368164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.502426644917809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85064028} λ = -0.85064028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502426644917809))-π/2
    2×atan(1.65272699005614)-π/2
    2×1.02666409632075-π/2
    2.0533281926415-1.57079632675     		φ = 0.48253187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85064028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.738098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48253187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.647040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47791 KachelY 55055 -0.85064028 0.48253187 -48.738098 27.647040
    Oben rechts KachelX + 1 47792 KachelY 55055 -0.85059235 0.48253187 -48.735352 27.647040
    Unten links KachelX 47791 KachelY + 1 55056 -0.85064028 0.48248940 -48.738098 27.644606
    Unten rechts KachelX + 1 47792 KachelY + 1 55056 -0.85059235 0.48248940 -48.735352 27.644606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48253187-0.48248940) × R
    4.24699999999611e-05 × 6371000     		dl = 270.576369999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48253187-0.48248940) × R
    4.24699999999611e-05 × 6371000     		dr = 270.576369999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85064028--0.85059235) × cos(0.48253187) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.88582291620784 × 6371000     		do = 270.496683913912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85064028--0.85059235) × cos(0.48248940) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.885842622484829 × 6371000     		du = 270.502701462657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48253187)-sin(0.48248940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88582291620784-0.885842622484829)×R²
    abs(-0.85059235--0.85064028)×1.97062769886625e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97062769886625e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97062769886625e-05×40589641000000     		ar = 73190.8249445832m²