Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47791 / 54918
↖ ↑ ↗
← N 27.979849°
W 48.738098°		 ← 269.67 m → N 27.979849°
W 48.735352°		 →
↑
269.68 m
↓
↑
269.68 m
↓
N 27.977424°
W 48.738098°		 ← 269.68 m →
72 726 m²		 N 27.977424°
W 48.735352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364620208740234 y=0.418994903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364620208740234 × 217)
    floor (0.364620208740234 × 131072)
    floor (47791.5)     		tx = 47791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418994903564453 × 217)
    floor (0.418994903564453 × 131072)
    floor (54918.5)     		ty = 54918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47791 / 54918 ti = "17/47791/54918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47791/54918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47791 ÷ 217
    47791 ÷ 131072     		x = 0.364616394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54918 ÷ 217
    54918 ÷ 131072     		y = 0.418991088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364616394042969 × 2 - 1) × π
    -0.270767211914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.85064028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418991088867188 × 2 - 1) × π
    0.162017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.508994000165756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85064028} λ = -0.85064028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508994000165756))-π/2
    2×atan(1.66361675466434)-π/2
    2×1.02956840928717-π/2
    2.05913681857435-1.57079632675     		φ = 0.48834049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85064028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.738098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48834049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.979849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47791 KachelY 54918 -0.85064028 0.48834049 -48.738098 27.979849
    Oben rechts KachelX + 1 47792 KachelY 54918 -0.85059235 0.48834049 -48.735352 27.979849
    Unten links KachelX 47791 KachelY + 1 54919 -0.85064028 0.48829816 -48.738098 27.977424
    Unten rechts KachelX + 1 47792 KachelY + 1 54919 -0.85059235 0.48829816 -48.735352 27.977424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48834049-0.48829816) × R
    4.23300000000348e-05 × 6371000     		dl = 269.684430000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48834049-0.48829816) × R
    4.23300000000348e-05 × 6371000     		dr = 269.684430000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85064028--0.85059235) × cos(0.48834049) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.883112651658971 × 6371000     		do = 269.669072029431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85064028--0.85059235) × cos(0.48829816) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.883132510452927 × 6371000     		du = 269.675136151067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48834049)-sin(0.48829816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883112651658971-0.883132510452927)×R²
    abs(-0.85059235--0.85064028)×1.98587939559403e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98587939559403e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98587939559403e-05×40589641000000     		ar = 72726.3676893988m²