Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47789 / 54895
↖ ↑ ↗
← N 28.035622°
W 48.743591°		 ← 269.59 m → N 28.035622°
W 48.740845°		 →
↑
269.56 m
↓
↑
269.56 m
↓
N 28.033198°
W 48.743591°		 ← 269.59 m →
72 670 m²		 N 28.033198°
W 48.740845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364604949951172 y=0.418819427490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364604949951172 × 217)
    floor (0.364604949951172 × 131072)
    floor (47789.5)     		tx = 47789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418819427490234 × 217)
    floor (0.418819427490234 × 131072)
    floor (54895.5)     		ty = 54895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47789 / 54895 ti = "17/47789/54895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47789/54895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47789 ÷ 217
    47789 ÷ 131072     		x = 0.364601135253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54895 ÷ 217
    54895 ÷ 131072     		y = 0.418815612792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364601135253906 × 2 - 1) × π
    -0.270797729492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.85073616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418815612792969 × 2 - 1) × π
    0.162368774414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.510096548857017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85073616} λ = -0.85073616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510096548857017))-π/2
    2×atan(1.66545198466927)-π/2
    2×1.03005512066684-π/2
    2.06011024133367-1.57079632675     		φ = 0.48931391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85073616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.743591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48931391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.035622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47789 KachelY 54895 -0.85073616 0.48931391 -48.743591 28.035622
    Oben rechts KachelX + 1 47790 KachelY 54895 -0.85068822 0.48931391 -48.740845 28.035622
    Unten links KachelX 47789 KachelY + 1 54896 -0.85073616 0.48927160 -48.743591 28.033198
    Unten rechts KachelX + 1 47790 KachelY + 1 54896 -0.85068822 0.48927160 -48.740845 28.033198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48931391-0.48927160) × R
    4.23100000000454e-05 × 6371000     		dl = 269.557010000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48931391-0.48927160) × R
    4.23100000000454e-05 × 6371000     		dr = 269.557010000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85073616--0.85068822) × cos(0.48931391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882655542634777 × 6371000     		do = 269.585722274152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85073616--0.85068822) × cos(0.48927160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882675428408608 × 6371000     		du = 269.591795901339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48931391)-sin(0.48927160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882655542634777-0.882675428408608)×R²
    abs(-0.85068822--0.85073616)×1.98857738302749e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98857738302749e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98857738302749e-05×40589641000000     		ar = 72669.5398402423m²