Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47788 / 54900
↖ ↑ ↗
← N 28.023500°
W 48.746338°		 ← 269.56 m → N 28.023500°
W 48.743591°		 →
↑
269.56 m
↓
↑
269.56 m
↓
N 28.021076°
W 48.746338°		 ← 269.57 m →
72 663 m²		 N 28.021076°
W 48.743591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364597320556641 y=0.418857574462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364597320556641 × 217)
    floor (0.364597320556641 × 131072)
    floor (47788.5)     		tx = 47788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418857574462891 × 217)
    floor (0.418857574462891 × 131072)
    floor (54900.5)     		ty = 54900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47788 / 54900 ti = "17/47788/54900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47788/54900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47788 ÷ 217
    47788 ÷ 131072     		x = 0.364593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54900 ÷ 217
    54900 ÷ 131072     		y = 0.418853759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.27081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85078409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418853759765625 × 2 - 1) × π
    0.16229248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.509856864358917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85078409} λ = -0.85078409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509856864358917))-π/2
    2×atan(1.66505284948138)-π/2
    2×1.02994933528392-π/2
    2.05989867056783-1.57079632675     		φ = 0.48910234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85078409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.746338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48910234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.023500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47788 KachelY 54900 -0.85078409 0.48910234 -48.746338 28.023500
    Oben rechts KachelX + 1 47789 KachelY 54900 -0.85073616 0.48910234 -48.743591 28.023500
    Unten links KachelX 47788 KachelY + 1 54901 -0.85078409 0.48906003 -48.746338 28.021076
    Unten rechts KachelX + 1 47789 KachelY + 1 54901 -0.85073616 0.48906003 -48.743591 28.021076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48910234-0.48906003) × R
    4.23100000000454e-05 × 6371000     		dl = 269.557010000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48910234-0.48906003) × R
    4.23100000000454e-05 × 6371000     		dr = 269.557010000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85078409--0.85073616) × cos(0.48910234) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.882754965099155 × 6371000     		do = 269.559848135422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85078409--0.85073616) × cos(0.48906003) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.882774842971336 × 6371000     		du = 269.565918082823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48910234)-sin(0.48906003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882754965099155-0.882774842971336)×R²
    abs(-0.85073616--0.85078409)×1.98778721816062e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98778721816062e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98778721816062e-05×40589641000000     		ar = 72662.5647888761m²