Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47787 / 54898
↖ ↑ ↗
← N 28.028349°
W 48.749084°		 ← 269.60 m → N 28.028349°
W 48.746338°		 →
↑
269.56 m
↓
↑
269.56 m
↓
N 28.025925°
W 48.749084°		 ← 269.61 m →
72 674 m²		 N 28.025925°
W 48.746338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364589691162109 y=0.418842315673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364589691162109 × 217)
    floor (0.364589691162109 × 131072)
    floor (47787.5)     		tx = 47787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418842315673828 × 217)
    floor (0.418842315673828 × 131072)
    floor (54898.5)     		ty = 54898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47787 / 54898 ti = "17/47787/54898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47787/54898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47787 ÷ 217
    47787 ÷ 131072     		x = 0.364585876464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54898 ÷ 217
    54898 ÷ 131072     		y = 0.418838500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364585876464844 × 2 - 1) × π
    -0.270828247070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.85083203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418838500976562 × 2 - 1) × π
    0.162322998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.509952738158157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85083203} λ = -0.85083203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509952738158157))-π/2
    2×atan(1.66521249207664)-π/2
    2×1.02999165086688-π/2
    2.05998330173376-1.57079632675     		φ = 0.48918697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85083203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.749084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48918697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.028349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47787 KachelY 54898 -0.85083203 0.48918697 -48.749084 28.028349
    Oben rechts KachelX + 1 47788 KachelY 54898 -0.85078409 0.48918697 -48.746338 28.028349
    Unten links KachelX 47787 KachelY + 1 54899 -0.85083203 0.48914466 -48.749084 28.025925
    Unten rechts KachelX + 1 47788 KachelY + 1 54899 -0.85078409 0.48914466 -48.746338 28.025925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48918697-0.48914466) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dl = 269.557009999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48918697-0.48914466) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dr = 269.557009999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85083203--0.85078409) × cos(0.48918697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882715199914989 × 6371000     		do = 269.603943143107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85083203--0.85078409) × cos(0.48914466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882735080948011 × 6371000     		du = 269.610015322329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48918697)-sin(0.48914466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882715199914989-0.882735080948011)×R²
    abs(-0.85078409--0.85083203)×1.98810330225285e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98810330225285e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98810330225285e-05×40589641000000     		ar = 72674.4512079307m²