Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47785 / 55063
↖ ↑ ↗
← N 27.627574°
W 48.754578°		 ← 270.60 m → N 27.627574°
W 48.751831°		 →
↑
270.58 m
↓
↑
270.58 m
↓
N 27.625141°
W 48.754578°		 ← 270.61 m →
73 219 m²		 N 27.625141°
W 48.751831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364574432373047 y=0.420101165771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364574432373047 × 217)
    floor (0.364574432373047 × 131072)
    floor (47785.5)     		tx = 47785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420101165771484 × 217)
    floor (0.420101165771484 × 131072)
    floor (55063.5)     		ty = 55063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47785 / 55063 ti = "17/47785/55063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47785/55063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47785 ÷ 217
    47785 ÷ 131072     		x = 0.364570617675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55063 ÷ 217
    55063 ÷ 131072     		y = 0.420097351074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364570617675781 × 2 - 1) × π
    -0.270858764648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.85092791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420097351074219 × 2 - 1) × π
    0.159805297851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.502043149720848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85092791} λ = -0.85092791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502043149720848))-π/2
    2×atan(1.65209329871013)-π/2
    2×1.02649422679303-π/2
    2.05298845358606-1.57079632675     		φ = 0.48219213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85092791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.754578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48219213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.627574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47785 KachelY 55063 -0.85092791 0.48219213 -48.754578 27.627574
    Oben rechts KachelX + 1 47786 KachelY 55063 -0.85087997 0.48219213 -48.751831 27.627574
    Unten links KachelX 47785 KachelY + 1 55064 -0.85092791 0.48214966 -48.754578 27.625141
    Unten rechts KachelX + 1 47786 KachelY + 1 55064 -0.85087997 0.48214966 -48.751831 27.625141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48219213-0.48214966) × R
    4.24700000000167e-05 × 6371000     		dl = 270.576370000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48219213-0.48214966) × R
    4.24700000000167e-05 × 6371000     		dr = 270.576370000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85092791--0.85087997) × cos(0.48219213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885980512409047 × 6371000     		do = 270.601253627935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85092791--0.85087997) × cos(0.48214966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886000205903432 × 6371000     		du = 270.607268528031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48219213)-sin(0.48214966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885980512409047-0.886000205903432)×R²
    abs(-0.85087997--0.85092791)×1.96934943852423e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96934943852423e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96934943852423e-05×40589641000000     		ar = 73219.1186799961m²