Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47784 / 80849
↖ ↑ ↗
← S 38.721948°
W 48.757324°		 ← 238.24 m → S 38.721948°
W 48.754578°		 →
↑
238.28 m
↓
↑
238.28 m
↓
S 38.724091°
W 48.757324°		 ← 238.23 m →
56 766 m²		 S 38.724091°
W 48.754578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364566802978516 y=0.616832733154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364566802978516 × 217)
    floor (0.364566802978516 × 131072)
    floor (47784.5)     		tx = 47784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616832733154297 × 217)
    floor (0.616832733154297 × 131072)
    floor (80849.5)     		ty = 80849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47784 / 80849 ti = "17/47784/80849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47784/80849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47784 ÷ 217
    47784 ÷ 131072     		x = 0.36456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80849 ÷ 217
    80849 ÷ 131072     		y = 0.616828918457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.2708740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85097584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616828918457031 × 2 - 1) × π
    -0.233657836914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.73405774388192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85097584} λ = -0.85097584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.73405774388192))-π/2
    2×atan(0.479957488857783)-π/2
    2×0.447485423915923-π/2
    0.894970847831846-1.57079632675     		φ = -0.67582548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85097584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.757324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67582548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.721948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47784 KachelY 80849 -0.85097584 -0.67582548 -48.757324 -38.721948
    Oben rechts KachelX + 1 47785 KachelY 80849 -0.85092791 -0.67582548 -48.754578 -38.721948
    Unten links KachelX 47784 KachelY + 1 80850 -0.85097584 -0.67586288 -48.757324 -38.724091
    Unten rechts KachelX + 1 47785 KachelY + 1 80850 -0.85092791 -0.67586288 -48.754578 -38.724091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67582548--0.67586288) × R
    3.74000000000763e-05 × 6371000     		dl = 238.275400000486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67582548--0.67586288) × R
    3.74000000000763e-05 × 6371000     		dr = 238.275400000486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85097584--0.85092791) × cos(-0.67582548) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.780190844960449 × 6371000     		do = 238.240660204684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85097584--0.85092791) × cos(-0.67586288) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.780167449160396 × 6371000     		du = 238.233516015686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67582548)-sin(-0.67586288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780190844960449-0.780167449160396)×R²
    abs(-0.85092791--0.85097584)×2.33958000527279e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33958000527279e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33958000527279e-05×40589641000000     		ar = 56766.0374710782m²