Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47784 / 55111
↖ ↑ ↗
← N 27.510707°
W 48.757324°		 ← 270.83 m → N 27.510707°
W 48.754578°		 →
↑
270.83 m
↓
↑
270.83 m
↓
N 27.508272°
W 48.757324°		 ← 270.84 m →
73 351 m²		 N 27.508272°
W 48.754578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364566802978516 y=0.420467376708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364566802978516 × 217)
    floor (0.364566802978516 × 131072)
    floor (47784.5)     		tx = 47784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420467376708984 × 217)
    floor (0.420467376708984 × 131072)
    floor (55111.5)     		ty = 55111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47784 / 55111 ti = "17/47784/55111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47784/55111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47784 ÷ 217
    47784 ÷ 131072     		x = 0.36456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55111 ÷ 217
    55111 ÷ 131072     		y = 0.420463562011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.2708740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85097584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420463562011719 × 2 - 1) × π
    0.159072875976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.499742178539085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85097584} λ = -0.85097584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499742178539085))-π/2
    2×atan(1.64829624976559)-π/2
    2×1.02547437568464-π/2
    2.05094875136928-1.57079632675     		φ = 0.48015242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85097584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.757324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48015242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.510707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47784 KachelY 55111 -0.85097584 0.48015242 -48.757324 27.510707
    Oben rechts KachelX + 1 47785 KachelY 55111 -0.85092791 0.48015242 -48.754578 27.510707
    Unten links KachelX 47784 KachelY + 1 55112 -0.85097584 0.48010991 -48.757324 27.508272
    Unten rechts KachelX + 1 47785 KachelY + 1 55112 -0.85092791 0.48010991 -48.754578 27.508272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48015242-0.48010991) × R
    4.25100000000511e-05 × 6371000     		dl = 270.831210000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48015242-0.48010991) × R
    4.25100000000511e-05 × 6371000     		dr = 270.831210000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85097584--0.85092791) × cos(0.48015242) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.886924528094351 × 6371000     		do = 270.833074355849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85097584--0.85092791) × cos(0.48010991) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.886944163272661 × 6371000     		du = 270.839070193757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48015242)-sin(0.48010991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886924528094351-0.886944163272661)×R²
    abs(-0.85092791--0.85097584)×1.96351783096071e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96351783096071e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96351783096071e-05×40589641000000     		ar = 73350.8611769185m²