Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47783 / 55064
↖ ↑ ↗
← N 27.625141°
W 48.760071°		 ← 270.61 m → N 27.625141°
W 48.757324°		 →
↑
270.64 m
↓
↑
270.64 m
↓
N 27.622707°
W 48.760071°		 ← 270.61 m →
73 238 m²		 N 27.622707°
W 48.757324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364559173583984 y=0.420108795166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364559173583984 × 217)
    floor (0.364559173583984 × 131072)
    floor (47783.5)     		tx = 47783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420108795166016 × 217)
    floor (0.420108795166016 × 131072)
    floor (55064.5)     		ty = 55064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47783 / 55064 ti = "17/47783/55064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47783/55064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47783 ÷ 217
    47783 ÷ 131072     		x = 0.364555358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55064 ÷ 217
    55064 ÷ 131072     		y = 0.42010498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364555358886719 × 2 - 1) × π
    -0.270889282226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.85102378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42010498046875 × 2 - 1) × π
    0.1597900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.501995212821228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85102378} λ = -0.85102378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501995212821228))-π/2
    2×atan(1.65201410437768)-π/2
    2×1.02647299097753-π/2
    2.05294598195505-1.57079632675     		φ = 0.48214966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85102378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.760071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48214966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.625141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47783 KachelY 55064 -0.85102378 0.48214966 -48.760071 27.625141
    Oben rechts KachelX + 1 47784 KachelY 55064 -0.85097584 0.48214966 -48.757324 27.625141
    Unten links KachelX 47783 KachelY + 1 55065 -0.85102378 0.48210718 -48.760071 27.622707
    Unten rechts KachelX + 1 47784 KachelY + 1 55065 -0.85097584 0.48210718 -48.757324 27.622707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48214966-0.48210718) × R
    4.24799999999559e-05 × 6371000     		dl = 270.640079999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48214966-0.48210718) × R
    4.24799999999559e-05 × 6371000     		dr = 270.640079999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85102378--0.85097584) × cos(0.48214966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886000205903432 × 6371000     		do = 270.607268528031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85102378--0.85097584) × cos(0.48210718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88601990243621 × 6371000     		du = 270.61328435613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48214966)-sin(0.48210718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886000205903432-0.88601990243621)×R²
    abs(-0.85097584--0.85102378)×1.96965327778909e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96965327778909e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96965327778909e-05×40589641000000     		ar = 73237.9868760178m²