Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47781 / 80837
↖ ↑ ↗
← S 38.696229°
W 48.765564°		 ← 238.33 m → S 38.696229°
W 48.762818°		 →
↑
238.34 m
↓
↑
238.34 m
↓
S 38.698372°
W 48.765564°		 ← 238.32 m →
56 802 m²		 S 38.698372°
W 48.762818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364543914794922 y=0.616741180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364543914794922 × 217)
    floor (0.364543914794922 × 131072)
    floor (47781.5)     		tx = 47781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616741180419922 × 217)
    floor (0.616741180419922 × 131072)
    floor (80837.5)     		ty = 80837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47781 / 80837 ti = "17/47781/80837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47781/80837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47781 ÷ 217
    47781 ÷ 131072     		x = 0.364540100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80837 ÷ 217
    80837 ÷ 131072     		y = 0.616737365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364540100097656 × 2 - 1) × π
    -0.270919799804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.85111965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616737365722656 × 2 - 1) × π
    -0.233474731445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.733482501086479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85111965} λ = -0.85111965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.733482501086479))-π/2
    2×atan(0.480233660370587)-π/2
    2×0.447709863868512-π/2
    0.895419727737023-1.57079632675     		φ = -0.67537660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85111965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.765564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67537660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.696229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47781 KachelY 80837 -0.85111965 -0.67537660 -48.765564 -38.696229
    Oben rechts KachelX + 1 47782 KachelY 80837 -0.85107172 -0.67537660 -48.762818 -38.696229
    Unten links KachelX 47781 KachelY + 1 80838 -0.85111965 -0.67541401 -48.765564 -38.698372
    Unten rechts KachelX + 1 47782 KachelY + 1 80838 -0.85107172 -0.67541401 -48.762818 -38.698372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67537660--0.67541401) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dl = 238.339110000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67537660--0.67541401) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dr = 238.339110000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85111965--0.85107172) × cos(-0.67537660) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.78047155944565 × 6371000     		do = 238.326379749735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85111965--0.85107172) × cos(-0.67541401) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.780448170493484 × 6371000     		du = 238.319237651822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67537660)-sin(-0.67541401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78047155944565-0.780448170493484)×R²
    abs(-0.85107172--0.85111965)×2.33889521660258e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33889521660258e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33889521660258e-05×40589641000000     		ar = 56801.6461249618m²