Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47781 / 55193
↖ ↑ ↗
← N 27.310774°
W 48.765564°		 ← 271.32 m → N 27.310774°
W 48.762818°		 →
↑
271.34 m
↓
↑
271.34 m
↓
N 27.308333°
W 48.765564°		 ← 271.33 m →
73 622 m²		 N 27.308333°
W 48.762818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364543914794922 y=0.421092987060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364543914794922 × 217)
    floor (0.364543914794922 × 131072)
    floor (47781.5)     		tx = 47781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421092987060547 × 217)
    floor (0.421092987060547 × 131072)
    floor (55193.5)     		ty = 55193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47781 / 55193 ti = "17/47781/55193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47781/55193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47781 ÷ 217
    47781 ÷ 131072     		x = 0.364540100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55193 ÷ 217
    55193 ÷ 131072     		y = 0.421089172363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364540100097656 × 2 - 1) × π
    -0.270919799804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.85111965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421089172363281 × 2 - 1) × π
    0.157821655273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.495811352770241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85111965} λ = -0.85111965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.495811352770241))-π/2
    2×atan(1.64182980195846)-π/2
    2×1.02372962283101-π/2
    2.04745924566202-1.57079632675     		φ = 0.47666292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85111965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.765564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47666292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.310774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47781 KachelY 55193 -0.85111965 0.47666292 -48.765564 27.310774
    Oben rechts KachelX + 1 47782 KachelY 55193 -0.85107172 0.47666292 -48.762818 27.310774
    Unten links KachelX 47781 KachelY + 1 55194 -0.85111965 0.47662033 -48.765564 27.308333
    Unten rechts KachelX + 1 47782 KachelY + 1 55194 -0.85107172 0.47662033 -48.762818 27.308333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47666292-0.47662033) × R
    4.2590000000009e-05 × 6371000     		dl = 271.340890000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47666292-0.47662033) × R
    4.2590000000009e-05 × 6371000     		dr = 271.340890000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85111965--0.85107172) × cos(0.47666292) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888530975141496 × 6371000     		do = 271.323622287253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85111965--0.85107172) × cos(0.47662033) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888550515336195 × 6371000     		du = 271.329589120773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47666292)-sin(0.47662033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888530975141496-0.888550515336195)×R²
    abs(-0.85107172--0.85111965)×1.95401946990748e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95401946990748e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95401946990748e-05×40589641000000     		ar = 73622.0026834974m²