Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47781 / 55083
↖ ↑ ↗
← N 27.578894°
W 48.765564°		 ← 270.67 m → N 27.578894°
W 48.762818°		 →
↑
270.70 m
↓
↑
270.70 m
↓
N 27.576460°
W 48.765564°		 ← 270.67 m →
73 271 m²		 N 27.576460°
W 48.762818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364543914794922 y=0.420253753662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364543914794922 × 217)
    floor (0.364543914794922 × 131072)
    floor (47781.5)     		tx = 47781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420253753662109 × 217)
    floor (0.420253753662109 × 131072)
    floor (55083.5)     		ty = 55083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47781 / 55083 ti = "17/47781/55083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47781/55083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47781 ÷ 217
    47781 ÷ 131072     		x = 0.364540100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55083 ÷ 217
    55083 ÷ 131072     		y = 0.420249938964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364540100097656 × 2 - 1) × π
    -0.270919799804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.85111965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420249938964844 × 2 - 1) × π
    0.159500122070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.501084411728447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85111965} λ = -0.85111965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501084411728447))-π/2
    2×atan(1.65051013313942)-π/2
    2×1.02606942082962-π/2
    2.05213884165925-1.57079632675     		φ = 0.48134251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85111965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.765564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48134251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.578894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47781 KachelY 55083 -0.85111965 0.48134251 -48.765564 27.578894
    Oben rechts KachelX + 1 47782 KachelY 55083 -0.85107172 0.48134251 -48.762818 27.578894
    Unten links KachelX 47781 KachelY + 1 55084 -0.85111965 0.48130002 -48.765564 27.576460
    Unten rechts KachelX + 1 47782 KachelY + 1 55084 -0.85107172 0.48130002 -48.762818 27.576460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48134251-0.48130002) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dl = 270.703790000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48134251-0.48130002) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dr = 270.703790000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85111965--0.85107172) × cos(0.48134251) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.886374180474518 × 6371000     		do = 270.665019089451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85111965--0.85107172) × cos(0.48130002) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.886393851250927 × 6371000     		du = 270.671025797667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48134251)-sin(0.48130002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886374180474518-0.886393851250927)×R²
    abs(-0.85107172--0.85111965)×1.96707764089643e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96707764089643e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96707764089643e-05×40589641000000     		ar = 73270.8595182955m²