Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47781 / 54935
↖ ↑ ↗
← N 27.938607°
W 48.765564°		 ← 269.77 m → N 27.938607°
W 48.762818°		 →
↑
269.81 m
↓
↑
269.81 m
↓
N 27.936180°
W 48.765564°		 ← 269.78 m →
72 789 m²		 N 27.936180°
W 48.762818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364543914794922 y=0.419124603271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364543914794922 × 217)
    floor (0.364543914794922 × 131072)
    floor (47781.5)     		tx = 47781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419124603271484 × 217)
    floor (0.419124603271484 × 131072)
    floor (54935.5)     		ty = 54935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47781 / 54935 ti = "17/47781/54935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47781/54935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47781 ÷ 217
    47781 ÷ 131072     		x = 0.364540100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54935 ÷ 217
    54935 ÷ 131072     		y = 0.419120788574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364540100097656 × 2 - 1) × π
    -0.270919799804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.85111965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419120788574219 × 2 - 1) × π
    0.161758422851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.508179072872215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85111965} λ = -0.85111965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508179072872215))-π/2
    2×atan(1.66226158022429)-π/2
    2×1.02920850421978-π/2
    2.05841700843957-1.57079632675     		φ = 0.48762068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85111965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.765564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48762068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.938607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47781 KachelY 54935 -0.85111965 0.48762068 -48.765564 27.938607
    Oben rechts KachelX + 1 47782 KachelY 54935 -0.85107172 0.48762068 -48.762818 27.938607
    Unten links KachelX 47781 KachelY + 1 54936 -0.85111965 0.48757833 -48.765564 27.936180
    Unten rechts KachelX + 1 47782 KachelY + 1 54936 -0.85107172 0.48757833 -48.762818 27.936180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48762068-0.48757833) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dl = 269.811849999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48762068-0.48757833) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dr = 269.811849999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85111965--0.85107172) × cos(0.48762068) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.883450129627652 × 6371000     		do = 269.772124987028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85111965--0.85107172) × cos(0.48757833) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.883469970877867 × 6371000     		du = 269.778183751471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48762068)-sin(0.48757833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883450129627652-0.883469970877867)×R²
    abs(-0.85107172--0.85111965)×1.98412502153689e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98412502153689e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98412502153689e-05×40589641000000     		ar = 72788.5334952359m²