Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47781 / 54880
↖ ↑ ↗
← N 28.071980°
W 48.765564°		 ← 269.44 m → N 28.071980°
W 48.762818°		 →
↑
269.43 m
↓
↑
269.43 m
↓
N 28.069557°
W 48.765564°		 ← 269.44 m →
72 595 m²		 N 28.069557°
W 48.762818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364543914794922 y=0.418704986572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364543914794922 × 217)
    floor (0.364543914794922 × 131072)
    floor (47781.5)     		tx = 47781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418704986572266 × 217)
    floor (0.418704986572266 × 131072)
    floor (54880.5)     		ty = 54880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47781 / 54880 ti = "17/47781/54880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47781/54880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47781 ÷ 217
    47781 ÷ 131072     		x = 0.364540100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54880 ÷ 217
    54880 ÷ 131072     		y = 0.418701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364540100097656 × 2 - 1) × π
    -0.270919799804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.85111965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418701171875 × 2 - 1) × π
    0.16259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.510815602351318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85111965} λ = -0.85111965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510815602351318))-π/2
    2×atan(1.66664996439257)-π/2
    2×1.03037240530153-π/2
    2.06074481060306-1.57079632675     		φ = 0.48994848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85111965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.765564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48994848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.071980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47781 KachelY 54880 -0.85111965 0.48994848 -48.765564 28.071980
    Oben rechts KachelX + 1 47782 KachelY 54880 -0.85107172 0.48994848 -48.762818 28.071980
    Unten links KachelX 47781 KachelY + 1 54881 -0.85111965 0.48990619 -48.765564 28.069557
    Unten rechts KachelX + 1 47782 KachelY + 1 54881 -0.85107172 0.48990619 -48.762818 28.069557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48994848-0.48990619) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dl = 269.429590000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48994848-0.48990619) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dr = 269.429590000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85111965--0.85107172) × cos(0.48994848) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.882357104084877 × 6371000     		do = 269.438356488444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85111965--0.85107172) × cos(0.48990619) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.882377004142222 × 6371000     		du = 269.444433210352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48994848)-sin(0.48990619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882357104084877-0.882377004142222)×R²
    abs(-0.85107172--0.85111965)×1.99000573454233e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99000573454233e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99000573454233e-05×40589641000000     		ar = 72595.4845540652m²