Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47780 / 55194
↖ ↑ ↗
← N 27.308333°
W 48.768311°		 ← 271.39 m → N 27.308333°
W 48.765564°		 →
↑
271.40 m
↓
↑
271.40 m
↓
N 27.305893°
W 48.768311°		 ← 271.39 m →
73 656 m²		 N 27.305893°
W 48.765564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364536285400391 y=0.421100616455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364536285400391 × 217)
    floor (0.364536285400391 × 131072)
    floor (47780.5)     		tx = 47780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421100616455078 × 217)
    floor (0.421100616455078 × 131072)
    floor (55194.5)     		ty = 55194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47780 / 55194 ti = "17/47780/55194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47780/55194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47780 ÷ 217
    47780 ÷ 131072     		x = 0.364532470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55194 ÷ 217
    55194 ÷ 131072     		y = 0.421096801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364532470703125 × 2 - 1) × π
    -0.27093505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85116759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421096801757812 × 2 - 1) × π
    0.157806396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.495763415870621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85116759} λ = -0.85116759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.495763415870621))-π/2
    2×atan(1.64175109961443)-π/2
    2×1.02370832588672-π/2
    2.04741665177344-1.57079632675     		φ = 0.47662033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85116759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.768311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47662033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.308333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47780 KachelY 55194 -0.85116759 0.47662033 -48.768311 27.308333
    Oben rechts KachelX + 1 47781 KachelY 55194 -0.85111965 0.47662033 -48.765564 27.308333
    Unten links KachelX 47780 KachelY + 1 55195 -0.85116759 0.47657773 -48.768311 27.305893
    Unten rechts KachelX + 1 47781 KachelY + 1 55195 -0.85111965 0.47657773 -48.765564 27.305893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47662033-0.47657773) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dl = 271.404600000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47662033-0.47657773) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dr = 271.404600000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85116759--0.85111965) × cos(0.47662033) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888550515336195 × 6371000     		do = 271.386198673761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85116759--0.85111965) × cos(0.47657773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888570058506555 × 6371000     		du = 271.39216766103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47662033)-sin(0.47657773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888550515336195-0.888570058506555)×R²
    abs(-0.85111965--0.85116759)×1.95431703595705e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95431703595705e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95431703595705e-05×40589641000000     		ar = 73656.2727130388m²