Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4778 / 3702
↖ ↑ ↗
← N 17.056785°
E 29.970703°		 ← 4 671.56 m → N 17.056785°
E 30.014648°		 →
↑
4 672.11 m
↓
↑
4 672.11 m
↓
N 17.014767°
E 29.970703°		 ← 4 672.61 m →
21 828 485 m²		 N 17.014767°
E 30.014648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58331298828125 y=0.45196533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58331298828125 × 213)
    floor (0.58331298828125 × 8192)
    floor (4778.5)     		tx = 4778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45196533203125 × 213)
    floor (0.45196533203125 × 8192)
    floor (3702.5)     		ty = 3702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4778 / 3702 ti = "13/4778/3702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4778/3702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4778 ÷ 213
    4778 ÷ 8192     		x = 0.583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3702 ÷ 213
    3702 ÷ 8192     		y = 0.451904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583251953125 × 2 - 1) × π
    0.16650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52308745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    0.09619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.302194215204834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52308745} λ = 0.52308745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.302194215204834))-π/2
    2×atan(1.35282394017583)-π/2
    2×0.934246689016817-π/2
    1.86849337803363-1.57079632675     		φ = 0.29769705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52308745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.970703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29769705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.056785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4778 KachelY 3702 0.52308745 0.29769705 29.970703 17.056785
    Oben rechts KachelX + 1 4779 KachelY 3702 0.52385444 0.29769705 30.014648 17.056785
    Unten links KachelX 4778 KachelY + 1 3703 0.52308745 0.29696371 29.970703 17.014767
    Unten rechts KachelX + 1 4779 KachelY + 1 3703 0.52385444 0.29696371 30.014648 17.014767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29769705-0.29696371) × R
    0.000733340000000027 × 6371000     		dl = 4672.10914000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29769705-0.29696371) × R
    0.000733340000000027 × 6371000     		dr = 4672.10914000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52308745-0.52385444) × cos(0.29769705) × R
    0.000766990000000023 × 0.956014523433953 × 6371000     		do = 4671.5585539027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52308745-0.52385444) × cos(0.29696371) × R
    0.000766990000000023 × 0.95622936914783 × 6371000     		du = 4672.60839604194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29769705)-sin(0.29696371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956014523433953-0.95622936914783)×R²
    abs(0.52385444-0.52308745)×0.000214845713876644×R²
    0.000766990000000023×0.000214845713876644×6371000²
    0.000766990000000023×0.000214845713876644×40589641000000     		ar = 21828484.8845189m²