Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47779 / 55195
↖ ↑ ↗
← N 27.305893°
W 48.771057°		 ← 271.39 m → N 27.305893°
W 48.768311°		 →
↑
271.40 m
↓
↑
271.40 m
↓
N 27.303452°
W 48.771057°		 ← 271.40 m →
73 658 m²		 N 27.303452°
W 48.768311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364528656005859 y=0.421108245849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364528656005859 × 217)
    floor (0.364528656005859 × 131072)
    floor (47779.5)     		tx = 47779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421108245849609 × 217)
    floor (0.421108245849609 × 131072)
    floor (55195.5)     		ty = 55195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47779 / 55195 ti = "17/47779/55195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47779/55195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47779 ÷ 217
    47779 ÷ 131072     		x = 0.364524841308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55195 ÷ 217
    55195 ÷ 131072     		y = 0.421104431152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364524841308594 × 2 - 1) × π
    -0.270950317382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.85121553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421104431152344 × 2 - 1) × π
    0.157791137695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.495715478971001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85121553} λ = -0.85121553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.495715478971001))-π/2
    2×atan(1.64167240104307)-π/2
    2×1.02368702847405-π/2
    2.0473740569481-1.57079632675     		φ = 0.47657773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85121553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.771057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47657773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.305893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47779 KachelY 55195 -0.85121553 0.47657773 -48.771057 27.305893
    Oben rechts KachelX + 1 47780 KachelY 55195 -0.85116759 0.47657773 -48.768311 27.305893
    Unten links KachelX 47779 KachelY + 1 55196 -0.85121553 0.47653513 -48.771057 27.303452
    Unten rechts KachelX + 1 47780 KachelY + 1 55196 -0.85116759 0.47653513 -48.768311 27.303452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47657773-0.47653513) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dl = 271.404600000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47657773-0.47653513) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dr = 271.404600000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85121553--0.85116759) × cos(0.47657773) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.888570058506555 × 6371000     		do = 271.392167661658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85121553--0.85116759) × cos(0.47653513) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.888589600064373 × 6371000     		du = 271.398136156416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47657773)-sin(0.47653513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888570058506555-0.888589600064373)×R²
    abs(-0.85116759--0.85121553)×1.95415578181368e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95415578181368e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95415578181368e-05×40589641000000     		ar = 73657.8926570187m²