Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47776 / 55007
↖ ↑ ↗
← N 27.763760°
W 48.779297°		 ← 270.26 m → N 27.763760°
W 48.776550°		 →
↑
270.26 m
↓
↑
270.26 m
↓
N 27.761330°
W 48.779297°		 ← 270.27 m →
73 042 m²		 N 27.761330°
W 48.776550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364505767822266 y=0.419673919677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364505767822266 × 217)
    floor (0.364505767822266 × 131072)
    floor (47776.5)     		tx = 47776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419673919677734 × 217)
    floor (0.419673919677734 × 131072)
    floor (55007.5)     		ty = 55007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47776 / 55007 ti = "17/47776/55007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47776/55007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47776 ÷ 217
    47776 ÷ 131072     		x = 0.364501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55007 ÷ 217
    55007 ÷ 131072     		y = 0.419670104980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364501953125 × 2 - 1) × π
    -0.27099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85135934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419670104980469 × 2 - 1) × π
    0.160659790039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.504727616099571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85135934} λ = -0.85135934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504727616099571))-π/2
    2×atan(1.65653424574461)-π/2
    2×1.02768267824999-π/2
    2.05536535649998-1.57079632675     		φ = 0.48456903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85135934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.779297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48456903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.763760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47776 KachelY 55007 -0.85135934 0.48456903 -48.779297 27.763760
    Oben rechts KachelX + 1 47777 KachelY 55007 -0.85131140 0.48456903 -48.776550 27.763760
    Unten links KachelX 47776 KachelY + 1 55008 -0.85135934 0.48452661 -48.779297 27.761330
    Unten rechts KachelX + 1 47777 KachelY + 1 55008 -0.85131140 0.48452661 -48.776550 27.761330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48456903-0.48452661) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dl = 270.25781999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48456903-0.48452661) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dr = 270.25781999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85135934--0.85131140) × cos(0.48456903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884875788761368 × 6371000     		do = 270.263842590347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85135934--0.85131140) × cos(0.48452661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884895548348582 × 6371000     		du = 270.269877676894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48456903)-sin(0.48452661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884875788761368-0.884895548348582)×R²
    abs(-0.85131140--0.85135934)×1.97595872141187e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97595872141187e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97595872141187e-05×40589641000000     		ar = 73041.7324489371m²