Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47775 / 80799
↖ ↑ ↗
← S 38.614724°
W 48.782043°		 ← 238.60 m → S 38.614724°
W 48.779297°		 →
↑
238.66 m
↓
↑
238.66 m
↓
S 38.616871°
W 48.782043°		 ← 238.59 m →
56 942 m²		 S 38.616871°
W 48.779297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364498138427734 y=0.616451263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364498138427734 × 217)
    floor (0.364498138427734 × 131072)
    floor (47775.5)     		tx = 47775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616451263427734 × 217)
    floor (0.616451263427734 × 131072)
    floor (80799.5)     		ty = 80799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47775 / 80799 ti = "17/47775/80799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47775/80799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47775 ÷ 217
    47775 ÷ 131072     		x = 0.364494323730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80799 ÷ 217
    80799 ÷ 131072     		y = 0.616447448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364494323730469 × 2 - 1) × π
    -0.271011352539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.85140727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616447448730469 × 2 - 1) × π
    -0.232894897460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.731660898900917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85140727} λ = -0.85140727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.731660898900917))-π/2
    2×atan(0.48110925230387)-π/2
    2×0.448421122910341-π/2
    0.896842245820681-1.57079632675     		φ = -0.67395408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85140727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.782043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67395408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.614724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47775 KachelY 80799 -0.85140727 -0.67395408 -48.782043 -38.614724
    Oben rechts KachelX + 1 47776 KachelY 80799 -0.85135934 -0.67395408 -48.779297 -38.614724
    Unten links KachelX 47775 KachelY + 1 80800 -0.85140727 -0.67399154 -48.782043 -38.616871
    Unten rechts KachelX + 1 47776 KachelY + 1 80800 -0.85135934 -0.67399154 -48.779297 -38.616871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67395408--0.67399154) × R
    3.74599999999337e-05 × 6371000     		dl = 238.657659999577m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67395408--0.67399154) × R
    3.74599999999337e-05 × 6371000     		dr = 238.657659999577m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85140727--0.85135934) × cos(-0.67395408) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.781360116588175 × 6371000     		do = 238.597711362548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85140727--0.85135934) × cos(-0.67399154) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.781336737987498 × 6371000     		du = 238.590572425587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67395408)-sin(-0.67399154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.781360116588175-0.781336737987498)×R²
    abs(-0.85135934--0.85140727)×2.33786006773595e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33786006773595e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33786006773595e-05×40589641000000     		ar = 56942.3196007071m²