Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47775 / 55028
↖ ↑ ↗
← N 27.712710°
W 48.782043°		 ← 270.33 m → N 27.712710°
W 48.779297°		 →
↑
270.39 m
↓
↑
270.39 m
↓
N 27.710279°
W 48.782043°		 ← 270.34 m →
73 095 m²		 N 27.710279°
W 48.779297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364498138427734 y=0.419834136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364498138427734 × 217)
    floor (0.364498138427734 × 131072)
    floor (47775.5)     		tx = 47775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419834136962891 × 217)
    floor (0.419834136962891 × 131072)
    floor (55028.5)     		ty = 55028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47775 / 55028 ti = "17/47775/55028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47775/55028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47775 ÷ 217
    47775 ÷ 131072     		x = 0.364494323730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55028 ÷ 217
    55028 ÷ 131072     		y = 0.419830322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364494323730469 × 2 - 1) × π
    -0.271011352539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.85140727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419830322265625 × 2 - 1) × π
    0.16033935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.50372094120755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85140727} λ = -0.85140727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50372094120755))-π/2
    2×atan(1.65486749339127)-π/2
    2×1.02723718274293-π/2
    2.05447436548585-1.57079632675     		φ = 0.48367804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85140727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.782043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48367804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.712710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47775 KachelY 55028 -0.85140727 0.48367804 -48.782043 27.712710
    Oben rechts KachelX + 1 47776 KachelY 55028 -0.85135934 0.48367804 -48.779297 27.712710
    Unten links KachelX 47775 KachelY + 1 55029 -0.85140727 0.48363560 -48.782043 27.710279
    Unten rechts KachelX + 1 47776 KachelY + 1 55029 -0.85135934 0.48363560 -48.779297 27.710279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48367804-0.48363560) × R
    4.24399999999769e-05 × 6371000     		dl = 270.385239999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48367804-0.48363560) × R
    4.24399999999769e-05 × 6371000     		dr = 270.385239999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85140727--0.85135934) × cos(0.48367804) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.885290484712644 × 6371000     		do = 270.334099551702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85140727--0.85135934) × cos(0.48363560) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.885310220147079 × 6371000     		du = 270.340126004024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48367804)-sin(0.48363560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885290484712644-0.885310220147079)×R²
    abs(-0.85135934--0.85140727)×1.97354344350087e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97354344350087e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97354344350087e-05×40589641000000     		ar = 73095.1651303176m²