Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47772 / 55117
↖ ↑ ↗
← N 27.496090°
W 48.790283°		 ← 270.87 m → N 27.496090°
W 48.787537°		 →
↑
270.89 m
↓
↑
270.89 m
↓
N 27.493654°
W 48.790283°		 ← 270.88 m →
73 378 m²		 N 27.493654°
W 48.787537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364475250244141 y=0.420513153076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364475250244141 × 217)
    floor (0.364475250244141 × 131072)
    floor (47772.5)     		tx = 47772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420513153076172 × 217)
    floor (0.420513153076172 × 131072)
    floor (55117.5)     		ty = 55117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47772 / 55117 ti = "17/47772/55117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47772/55117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47772 ÷ 217
    47772 ÷ 131072     		x = 0.364471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55117 ÷ 217
    55117 ÷ 131072     		y = 0.420509338378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.27105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85155108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420509338378906 × 2 - 1) × π
    0.158981323242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.499454557141365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85155108} λ = -0.85155108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499454557141365))-π/2
    2×atan(1.64782223266637)-π/2
    2×1.02534681797686-π/2
    2.05069363595372-1.57079632675     		φ = 0.47989731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85155108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.790283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47989731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.496090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47772 KachelY 55117 -0.85155108 0.47989731 -48.790283 27.496090
    Oben rechts KachelX + 1 47773 KachelY 55117 -0.85150315 0.47989731 -48.787537 27.496090
    Unten links KachelX 47772 KachelY + 1 55118 -0.85155108 0.47985479 -48.790283 27.493654
    Unten rechts KachelX + 1 47773 KachelY + 1 55118 -0.85150315 0.47985479 -48.787537 27.493654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47989731-0.47985479) × R
    4.25200000000459e-05 × 6371000     		dl = 270.894920000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47989731-0.47985479) × R
    4.25200000000459e-05 × 6371000     		dr = 270.894920000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85155108--0.85150315) × cos(0.47989731) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.887042338205952 × 6371000     		do = 270.869049090682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85155108--0.85150315) × cos(0.47985479) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.887061968381566 × 6371000     		du = 270.875043400957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47989731)-sin(0.47985479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887042338205952-0.887061968381566)×R²
    abs(-0.85150315--0.85155108)×1.96301756144601e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96301756144601e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96301756144601e-05×40589641000000     		ar = 73377.8613092077m²