Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47771 / 80813
↖ ↑ ↗
← S 38.644763°
W 48.793030°		 ← 238.55 m → S 38.644763°
W 48.790283°		 →
↑
238.53 m
↓
↑
238.53 m
↓
S 38.646908°
W 48.793030°		 ← 238.54 m →
56 900 m²		 S 38.646908°
W 48.790283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364467620849609 y=0.616558074951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364467620849609 × 217)
    floor (0.364467620849609 × 131072)
    floor (47771.5)     		tx = 47771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616558074951172 × 217)
    floor (0.616558074951172 × 131072)
    floor (80813.5)     		ty = 80813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47771 / 80813 ti = "17/47771/80813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47771/80813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47771 ÷ 217
    47771 ÷ 131072     		x = 0.364463806152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80813 ÷ 217
    80813 ÷ 131072     		y = 0.616554260253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364463806152344 × 2 - 1) × π
    -0.271072387695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.85159902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616554260253906 × 2 - 1) × π
    -0.233108520507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.732332015495598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85159902} λ = -0.85159902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.732332015495598))-π/2
    2×atan(0.480786480221759)-π/2
    2×0.448158985951563-π/2
    0.896317971903127-1.57079632675     		φ = -0.67447835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85159902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.793030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67447835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.644763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47771 KachelY 80813 -0.85159902 -0.67447835 -48.793030 -38.644763
    Oben rechts KachelX + 1 47772 KachelY 80813 -0.85155108 -0.67447835 -48.790283 -38.644763
    Unten links KachelX 47771 KachelY + 1 80814 -0.85159902 -0.67451579 -48.793030 -38.646908
    Unten rechts KachelX + 1 47772 KachelY + 1 80814 -0.85155108 -0.67451579 -48.790283 -38.646908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67447835--0.67451579) × R
    3.74399999999442e-05 × 6371000     		dl = 238.530239999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67447835--0.67451579) × R
    3.74399999999442e-05 × 6371000     		dr = 238.530239999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85159902--0.85155108) × cos(-0.67447835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.781032822580447 × 6371000     		do = 238.547527800765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85159902--0.85155108) × cos(-0.67451579) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.781009441128346 × 6371000     		du = 238.540386503455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67447835)-sin(-0.67451579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.781032822580447-0.781009441128346)×R²
    abs(-0.85155108--0.85159902)×2.33814521014564e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33814521014564e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33814521014564e-05×40589641000000     		ar = 56899.9473565907m²