Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4777 / 3706
↖ ↑ ↗
← N 16.888660°
E 29.926758°		 ← 4 675.74 m → N 16.888660°
E 29.970703°		 →
↑
4 676.25 m
↓
↑
4 676.25 m
↓
N 16.846605°
E 29.926758°		 ← 4 676.78 m →
21 867 385 m²		 N 16.846605°
E 29.970703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58319091796875 y=0.45245361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58319091796875 × 213)
    floor (0.58319091796875 × 8192)
    floor (4777.5)     		tx = 4777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45245361328125 × 213)
    floor (0.45245361328125 × 8192)
    floor (3706.5)     		ty = 3706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4777 / 3706 ti = "13/4777/3706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4777/3706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4777 ÷ 213
    4777 ÷ 8192     		x = 0.5831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3706 ÷ 213
    3706 ÷ 8192     		y = 0.452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5831298828125 × 2 - 1) × π
    0.166259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52232046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452392578125 × 2 - 1) × π
    0.09521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.29912625362915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52232046} λ = 0.52232046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.29912625362915))-π/2
    2×atan(1.34867988845488)-π/2
    2×0.932779523162845-π/2
    1.86555904632569-1.57079632675     		φ = 0.29476272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52232046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29476272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.888660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4777 KachelY 3706 0.52232046 0.29476272 29.926758 16.888660
    Oben rechts KachelX + 1 4778 KachelY 3706 0.52308745 0.29476272 29.970703 16.888660
    Unten links KachelX 4777 KachelY + 1 3707 0.52232046 0.29402873 29.926758 16.846605
    Unten rechts KachelX + 1 4778 KachelY + 1 3707 0.52308745 0.29402873 29.970703 16.846605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29476272-0.29402873) × R
    0.000733989999999962 × 6371000     		dl = 4676.25028999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29476272-0.29402873) × R
    0.000733989999999962 × 6371000     		dr = 4676.25028999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52232046-0.52308745) × cos(0.29476272) × R
    0.000766990000000023 × 0.956871102137163 × 6371000     		do = 4675.74421998829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52232046-0.52308745) × cos(0.29402873) × R
    0.000766990000000023 × 0.957084077863856 × 6371000     		du = 4676.78492444771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29476272)-sin(0.29402873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956871102137163-0.957084077863856)×R²
    abs(0.52308745-0.52232046)×0.000212975726692544×R²
    0.000766990000000023×0.000212975726692544×6371000²
    0.000766990000000023×0.000212975726692544×40589641000000     		ar = 21867384.5436882m²