Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47769 / 55027
↖ ↑ ↗
← N 27.715142°
W 48.798523°		 ← 270.38 m → N 27.715142°
W 48.795776°		 →
↑
270.39 m
↓
↑
270.39 m
↓
N 27.712710°
W 48.798523°		 ← 270.39 m →
73 109 m²		 N 27.712710°
W 48.795776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364452362060547 y=0.419826507568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364452362060547 × 217)
    floor (0.364452362060547 × 131072)
    floor (47769.5)     		tx = 47769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419826507568359 × 217)
    floor (0.419826507568359 × 131072)
    floor (55027.5)     		ty = 55027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47769 / 55027 ti = "17/47769/55027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47769/55027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47769 ÷ 217
    47769 ÷ 131072     		x = 0.364448547363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55027 ÷ 217
    55027 ÷ 131072     		y = 0.419822692871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364448547363281 × 2 - 1) × π
    -0.271102905273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.85169490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419822692871094 × 2 - 1) × π
    0.160354614257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.50376887810717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85169490} λ = -0.85169490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50376887810717))-π/2
    2×atan(1.65494682450962)-π/2
    2×1.02725840154697-π/2
    2.05451680309395-1.57079632675     		φ = 0.48372048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85169490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.798523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48372048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.715142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47769 KachelY 55027 -0.85169490 0.48372048 -48.798523 27.715142
    Oben rechts KachelX + 1 47770 KachelY 55027 -0.85164696 0.48372048 -48.795776 27.715142
    Unten links KachelX 47769 KachelY + 1 55028 -0.85169490 0.48367804 -48.798523 27.712710
    Unten rechts KachelX + 1 47770 KachelY + 1 55028 -0.85164696 0.48367804 -48.795776 27.712710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48372048-0.48367804) × R
    4.24400000000325e-05 × 6371000     		dl = 270.385240000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48372048-0.48367804) × R
    4.24400000000325e-05 × 6371000     		dr = 270.385240000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85169490--0.85164696) × cos(0.48372048) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.885270747683665 × 6371000     		do = 270.384473212085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85169490--0.85164696) × cos(0.48367804) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.885290484712644 × 6371000     		du = 270.390501408767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48372048)-sin(0.48367804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885270747683665-0.885290484712644)×R²
    abs(-0.85164696--0.85169490)×1.97370289791721e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.97370289791721e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.97370289791721e-05×40589641000000     		ar = 73108.7856604398m²