Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47768 / 80816
↖ ↑ ↗
← S 38.651198°
W 48.801269°		 ← 238.48 m → S 38.651198°
W 48.798523°		 →
↑
238.53 m
↓
↑
238.53 m
↓
S 38.653343°
W 48.801269°		 ← 238.47 m →
56 883 m²		 S 38.653343°
W 48.798523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364444732666016 y=0.616580963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364444732666016 × 217)
    floor (0.364444732666016 × 131072)
    floor (47768.5)     		tx = 47768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616580963134766 × 217)
    floor (0.616580963134766 × 131072)
    floor (80816.5)     		ty = 80816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47768 / 80816 ti = "17/47768/80816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47768/80816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47768 ÷ 217
    47768 ÷ 131072     		x = 0.36444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80816 ÷ 217
    80816 ÷ 131072     		y = 0.6165771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.2711181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85174283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6165771484375 × 2 - 1) × π
    -0.233154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.732475826194458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85174283} λ = -0.85174283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.732475826194458))-π/2
    2×atan(0.480717342953495)-π/2
    2×0.448102828035639-π/2
    0.896205656071279-1.57079632675     		φ = -0.67459067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85174283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.801269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67459067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.651198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47768 KachelY 80816 -0.85174283 -0.67459067 -48.801269 -38.651198
    Oben rechts KachelX + 1 47769 KachelY 80816 -0.85169490 -0.67459067 -48.798523 -38.651198
    Unten links KachelX 47768 KachelY + 1 80817 -0.85174283 -0.67462811 -48.801269 -38.653343
    Unten rechts KachelX + 1 47769 KachelY + 1 80817 -0.85169490 -0.67462811 -48.798523 -38.653343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67459067--0.67462811) × R
    3.74400000000552e-05 × 6371000     		dl = 238.530240000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67459067--0.67462811) × R
    3.74400000000552e-05 × 6371000     		dr = 238.530240000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85174283--0.85169490) × cos(-0.67459067) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.780962674939827 × 6371000     		do = 238.476347773449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85174283--0.85169490) × cos(-0.67462811) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.780939290203475 × 6371000     		du = 238.469206962886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67459067)-sin(-0.67462811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780962674939827-0.780939290203475)×R²
    abs(-0.85169490--0.85174283)×2.33847363516615e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.33847363516615e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.33847363516615e-05×40589641000000     		ar = 56882.9688259358m²