Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47767 / 55131
↖ ↑ ↗
← N 27.461977°
W 48.804016°		 ← 271.01 m → N 27.461977°
W 48.801269°		 →
↑
271.02 m
↓
↑
271.02 m
↓
N 27.459539°
W 48.804016°		 ← 271.02 m →
73 450 m²		 N 27.459539°
W 48.801269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364437103271484 y=0.420619964599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364437103271484 × 217)
    floor (0.364437103271484 × 131072)
    floor (47767.5)     		tx = 47767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420619964599609 × 217)
    floor (0.420619964599609 × 131072)
    floor (55131.5)     		ty = 55131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47767 / 55131 ti = "17/47767/55131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47767/55131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47767 ÷ 217
    47767 ÷ 131072     		x = 0.364433288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55131 ÷ 217
    55131 ÷ 131072     		y = 0.420616149902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364433288574219 × 2 - 1) × π
    -0.271133422851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.85179077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420616149902344 × 2 - 1) × π
    0.158767700195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.498783440546684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85179077} λ = -0.85179077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498783440546684))-π/2
    2×atan(1.64671672282544)-π/2
    2×1.02504911745928-π/2
    2.05009823491857-1.57079632675     		φ = 0.47930191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85179077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.804016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47930191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.461977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47767 KachelY 55131 -0.85179077 0.47930191 -48.804016 27.461977
    Oben rechts KachelX + 1 47768 KachelY 55131 -0.85174283 0.47930191 -48.801269 27.461977
    Unten links KachelX 47767 KachelY + 1 55132 -0.85179077 0.47925937 -48.804016 27.459539
    Unten rechts KachelX + 1 47768 KachelY + 1 55132 -0.85174283 0.47925937 -48.801269 27.459539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47930191-0.47925937) × R
    4.25399999999798e-05 × 6371000     		dl = 271.022339999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47930191-0.47925937) × R
    4.25399999999798e-05 × 6371000     		dr = 271.022339999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85179077--0.85174283) × cos(0.47930191) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.887317070048302 × 6371000     		do = 271.009472734584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85179077--0.85174283) × cos(0.47925937) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.887336686985907 × 6371000     		du = 271.015464252269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47930191)-sin(0.47925937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887317070048302-0.887336686985907)×R²
    abs(-0.85174283--0.85179077)×1.96169376045496e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.96169376045496e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.96169376045496e-05×40589641000000     		ar = 73450.4333913215m²