Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47764 / 55132
↖ ↑ ↗
← N 27.459539°
W 48.812256°		 ← 271.02 m → N 27.459539°
W 48.809509°		 →
↑
270.96 m
↓
↑
270.96 m
↓
N 27.457102°
W 48.812256°		 ← 271.02 m →
73 435 m²		 N 27.457102°
W 48.809509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364414215087891 y=0.420627593994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364414215087891 × 217)
    floor (0.364414215087891 × 131072)
    floor (47764.5)     		tx = 47764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420627593994141 × 217)
    floor (0.420627593994141 × 131072)
    floor (55132.5)     		ty = 55132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47764 / 55132 ti = "17/47764/55132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47764/55132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47764 ÷ 217
    47764 ÷ 131072     		x = 0.364410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55132 ÷ 217
    55132 ÷ 131072     		y = 0.420623779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364410400390625 × 2 - 1) × π
    -0.27117919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85193458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420623779296875 × 2 - 1) × π
    0.15875244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.498735503647064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85193458} λ = -0.85193458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498735503647064))-π/2
    2×atan(1.6466377862232)-π/2
    2×1.02502784960953-π/2
    2.05005569921906-1.57079632675     		φ = 0.47925937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85193458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.812256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47925937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.459539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47764 KachelY 55132 -0.85193458 0.47925937 -48.812256 27.459539
    Oben rechts KachelX + 1 47765 KachelY 55132 -0.85188664 0.47925937 -48.809509 27.459539
    Unten links KachelX 47764 KachelY + 1 55133 -0.85193458 0.47921684 -48.812256 27.457102
    Unten rechts KachelX + 1 47765 KachelY + 1 55133 -0.85188664 0.47921684 -48.809509 27.457102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47925937-0.47921684) × R
    4.25300000000406e-05 × 6371000     		dl = 270.958630000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47925937-0.47921684) × R
    4.25300000000406e-05 × 6371000     		dr = 270.958630000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85193458--0.85188664) × cos(0.47925937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887336686985907 × 6371000     		do = 271.015464251641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85193458--0.85188664) × cos(0.47921684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887356297706897 × 6371000     		du = 271.021453870612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47925937)-sin(0.47921684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887336686985907-0.887356297706897)×R²
    abs(-0.85188664--0.85193458)×1.96107209906593e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96107209906593e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96107209906593e-05×40589641000000     		ar = 73434.7903829927m²