Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47764 / 54884
↖ ↑ ↗
← N 28.062286°
W 48.812256°		 ← 269.52 m → N 28.062286°
W 48.809509°		 →
↑
269.56 m
↓
↑
269.56 m
↓
N 28.059862°
W 48.812256°		 ← 269.52 m →
72 652 m²		 N 28.059862°
W 48.809509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364414215087891 y=0.418735504150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364414215087891 × 217)
    floor (0.364414215087891 × 131072)
    floor (47764.5)     		tx = 47764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418735504150391 × 217)
    floor (0.418735504150391 × 131072)
    floor (54884.5)     		ty = 54884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47764 / 54884 ti = "17/47764/54884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47764/54884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47764 ÷ 217
    47764 ÷ 131072     		x = 0.364410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54884 ÷ 217
    54884 ÷ 131072     		y = 0.418731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364410400390625 × 2 - 1) × π
    -0.27117919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85193458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418731689453125 × 2 - 1) × π
    0.16253662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.510623854752838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85193458} λ = -0.85193458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510623854752838))-π/2
    2×atan(1.66633041890141)-π/2
    2×1.03028780655752-π/2
    2.06057561311505-1.57079632675     		φ = 0.48977929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85193458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.812256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48977929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.062286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47764 KachelY 54884 -0.85193458 0.48977929 -48.812256 28.062286
    Oben rechts KachelX + 1 47765 KachelY 54884 -0.85188664 0.48977929 -48.809509 28.062286
    Unten links KachelX 47764 KachelY + 1 54885 -0.85193458 0.48973698 -48.812256 28.059862
    Unten rechts KachelX + 1 47765 KachelY + 1 54885 -0.85188664 0.48973698 -48.809509 28.059862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48977929-0.48973698) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dl = 269.557009999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48977929-0.48973698) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dr = 269.557009999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85193458--0.85188664) × cos(0.48977929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882436708958559 × 6371000     		do = 269.518884836656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85193458--0.85188664) × cos(0.48973698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882456612110119 × 6371000     		du = 269.524963771449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48977929)-sin(0.48973698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882436708958559-0.882456612110119)×R²
    abs(-0.85188664--0.85193458)×1.99031515607517e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99031515607517e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99031515607517e-05×40589641000000     		ar = 72651.5240555976m²