Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47762 / 80807
↖ ↑ ↗
← S 38.631891°
W 48.817749°		 ← 238.54 m → S 38.631891°
W 48.815003°		 →
↑
238.59 m
↓
↑
238.59 m
↓
S 38.634036°
W 48.817749°		 ← 238.53 m →
56 913 m²		 S 38.634036°
W 48.815003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364398956298828 y=0.616512298583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364398956298828 × 217)
    floor (0.364398956298828 × 131072)
    floor (47762.5)     		tx = 47762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616512298583984 × 217)
    floor (0.616512298583984 × 131072)
    floor (80807.5)     		ty = 80807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47762 / 80807 ti = "17/47762/80807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47762/80807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47762 ÷ 217
    47762 ÷ 131072     		x = 0.364395141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80807 ÷ 217
    80807 ÷ 131072     		y = 0.616508483886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364395141601562 × 2 - 1) × π
    -0.271209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85203045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616508483886719 × 2 - 1) × π
    -0.233016967773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.732044394097877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85203045} λ = -0.85203045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.732044394097877))-π/2
    2×atan(0.4809247845899)-π/2
    2×0.448271316914183-π/2
    0.896542633828365-1.57079632675     		φ = -0.67425369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85203045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.817749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67425369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.631891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47762 KachelY 80807 -0.85203045 -0.67425369 -48.817749 -38.631891
    Oben rechts KachelX + 1 47763 KachelY 80807 -0.85198252 -0.67425369 -48.815003 -38.631891
    Unten links KachelX 47762 KachelY + 1 80808 -0.85203045 -0.67429114 -48.817749 -38.634036
    Unten rechts KachelX + 1 47763 KachelY + 1 80808 -0.85198252 -0.67429114 -48.815003 -38.634036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67425369--0.67429114) × R
    3.74499999999944e-05 × 6371000     		dl = 238.593949999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67425369--0.67429114) × R
    3.74499999999944e-05 × 6371000     		dr = 238.593949999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85203045--0.85198252) × cos(-0.67425369) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.781173100787073 × 6371000     		do = 238.540603837881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85203045--0.85198252) × cos(-0.67429114) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.781149719661504 × 6371000     		du = 238.533464129914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67425369)-sin(-0.67429114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.781173100787073-0.781149719661504)×R²
    abs(-0.85198252--0.85203045)×2.33811255690997e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33811255690997e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33811255690997e-05×40589641000000     		ar = 56913.4931662901m²