Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47762 / 55122
↖ ↑ ↗
← N 27.483908°
W 48.817749°		 ← 270.90 m → N 27.483908°
W 48.815003°		 →
↑
270.96 m
↓
↑
270.96 m
↓
N 27.481471°
W 48.817749°		 ← 270.91 m →
73 403 m²		 N 27.481471°
W 48.815003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364398956298828 y=0.420551300048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364398956298828 × 217)
    floor (0.364398956298828 × 131072)
    floor (47762.5)     		tx = 47762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420551300048828 × 217)
    floor (0.420551300048828 × 131072)
    floor (55122.5)     		ty = 55122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47762 / 55122 ti = "17/47762/55122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47762/55122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47762 ÷ 217
    47762 ÷ 131072     		x = 0.364395141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55122 ÷ 217
    55122 ÷ 131072     		y = 0.420547485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364395141601562 × 2 - 1) × π
    -0.271209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85203045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420547485351562 × 2 - 1) × π
    0.158905029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.499214872643265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85203045} λ = -0.85203045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499214872643265))-π/2
    2×atan(1.64742732255038)-π/2
    2×1.02524050694675-π/2
    2.0504810138935-1.57079632675     		φ = 0.47968469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85203045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.817749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47968469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.483908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47762 KachelY 55122 -0.85203045 0.47968469 -48.817749 27.483908
    Oben rechts KachelX + 1 47763 KachelY 55122 -0.85198252 0.47968469 -48.815003 27.483908
    Unten links KachelX 47762 KachelY + 1 55123 -0.85203045 0.47964216 -48.817749 27.481471
    Unten rechts KachelX + 1 47763 KachelY + 1 55123 -0.85198252 0.47964216 -48.815003 27.481471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47968469-0.47964216) × R
    4.25300000000406e-05 × 6371000     		dl = 270.958630000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47968469-0.47964216) × R
    4.25300000000406e-05 × 6371000     		dr = 270.958630000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85203045--0.85198252) × cos(0.47968469) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.887140482276019 × 6371000     		do = 270.89901856315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85203045--0.85198252) × cos(0.47964216) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.887160109046321 × 6371000     		du = 270.905011833572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47968469)-sin(0.47964216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887140482276019-0.887160109046321)×R²
    abs(-0.85198252--0.85203045)×1.96267703025388e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96267703025388e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96267703025388e-05×40589641000000     		ar = 73403.2389135827m²