Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47761 / 80809
↖ ↑ ↗
← S 38.636182°
W 48.820496°		 ← 238.58 m → S 38.636182°
W 48.817749°		 →
↑
238.59 m
↓
↑
238.59 m
↓
S 38.638327°
W 48.820496°		 ← 238.57 m →
56 922 m²		 S 38.638327°
W 48.817749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364391326904297 y=0.616527557373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364391326904297 × 217)
    floor (0.364391326904297 × 131072)
    floor (47761.5)     		tx = 47761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616527557373047 × 217)
    floor (0.616527557373047 × 131072)
    floor (80809.5)     		ty = 80809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47761 / 80809 ti = "17/47761/80809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47761/80809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47761 ÷ 217
    47761 ÷ 131072     		x = 0.364387512207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80809 ÷ 217
    80809 ÷ 131072     		y = 0.616523742675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364387512207031 × 2 - 1) × π
    -0.271224975585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.85207839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616523742675781 × 2 - 1) × π
    -0.233047485351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.732140267897118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85207839} λ = -0.85207839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.732140267897118))-π/2
    2×atan(0.480878678713861)-π/2
    2×0.448233871018469-π/2
    0.896467742036938-1.57079632675     		φ = -0.67432858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85207839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.820496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67432858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.636182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47761 KachelY 80809 -0.85207839 -0.67432858 -48.820496 -38.636182
    Oben rechts KachelX + 1 47762 KachelY 80809 -0.85203045 -0.67432858 -48.817749 -38.636182
    Unten links KachelX 47761 KachelY + 1 80810 -0.85207839 -0.67436603 -48.820496 -38.638327
    Unten rechts KachelX + 1 47762 KachelY + 1 80810 -0.85203045 -0.67436603 -48.817749 -38.638327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67432858--0.67436603) × R
    3.74499999999944e-05 × 6371000     		dl = 238.593949999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67432858--0.67436603) × R
    3.74499999999944e-05 × 6371000     		dr = 238.593949999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85207839--0.85203045) × cos(-0.67432858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7811263436841 × 6371000     		do = 238.576091553054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85207839--0.85203045) × cos(-0.67436603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.781102960367727 × 6371000     		du = 238.568949686347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67432858)-sin(-0.67436603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7811263436841-0.781102960367727)×R²
    abs(-0.85203045--0.85207839)×2.33833163726382e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33833163726382e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33833163726382e-05×40589641000000     		ar = 56921.960062757m²