Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4776 / 2986
↖ ↑ ↗
← N 81.238313°
W127.529297°		 ← 186.08 m → N 81.238313°
W127.518311°		 →
↑
186.10 m
↓
↑
186.10 m
↓
N 81.236639°
W127.529297°		 ← 186.11 m →
34 632 m²		 N 81.236639°
W127.518311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145767211914062 y=0.0911407470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145767211914062 × 215)
    floor (0.145767211914062 × 32768)
    floor (4776.5)     		tx = 4776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0911407470703125 × 215)
    floor (0.0911407470703125 × 32768)
    floor (2986.5)     		ty = 2986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4776 / 2986 ti = "15/4776/2986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4776/2986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4776 ÷ 215
    4776 ÷ 32768     		x = 0.145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2986 ÷ 215
    2986 ÷ 32768     		y = 0.09112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145751953125 × 2 - 1) × π
    -0.70849609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22580612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09112548828125 × 2 - 1) × π
    0.8177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56903432443805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22580612} λ = -2.22580612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56903432443805))-π/2
    2×atan(13.0532131837467)-π/2
    2×1.49433618565572-π/2
    2.98867237131144-1.57079632675     		φ = 1.41787604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22580612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.529297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41787604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.238313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4776 KachelY 2986 -2.22580612 1.41787604 -127.529297 81.238313
    Oben rechts KachelX + 1 4777 KachelY 2986 -2.22561438 1.41787604 -127.518311 81.238313
    Unten links KachelX 4776 KachelY + 1 2987 -2.22580612 1.41784683 -127.529297 81.236639
    Unten rechts KachelX + 1 4777 KachelY + 1 2987 -2.22561438 1.41784683 -127.518311 81.236639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41787604-1.41784683) × R
    2.92099999998907e-05 × 6371000     		dl = 186.096909999304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41787604-1.41784683) × R
    2.92099999998907e-05 × 6371000     		dr = 186.096909999304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22580612--2.22561438) × cos(1.41787604) × R
    0.000191739999999996 × 0.152324986282199 × 6371000     		do = 186.076477373166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22580612--2.22561438) × cos(1.41784683) × R
    0.000191739999999996 × 0.152353855349953 × 6371000     		du = 186.111743120197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41787604)-sin(1.41784683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152324986282199-0.152353855349953)×R²
    abs(-2.22561438--2.22580612)×2.88690677544834e-05×R²
    0.000191739999999996×2.88690677544834e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.88690677544834e-05×40589641000000     		ar = 34631.538888414m²