Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4776 / 2968
↖ ↑ ↗
← N 81.268385°
W127.529297°		 ← 185.44 m → N 81.268385°
W127.518311°		 →
↑
185.46 m
↓
↑
185.46 m
↓
N 81.266717°
W127.529297°		 ← 185.48 m →
34 395 m²		 N 81.266717°
W127.518311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145767211914062 y=0.0905914306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145767211914062 × 215)
    floor (0.145767211914062 × 32768)
    floor (4776.5)     		tx = 4776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0905914306640625 × 215)
    floor (0.0905914306640625 × 32768)
    floor (2968.5)     		ty = 2968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4776 / 2968 ti = "15/4776/2968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4776/2968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4776 ÷ 215
    4776 ÷ 32768     		x = 0.145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2968 ÷ 215
    2968 ÷ 32768     		y = 0.090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145751953125 × 2 - 1) × π
    -0.70849609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22580612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.090576171875 × 2 - 1) × π
    0.81884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57248578121069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22580612} λ = -2.22580612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57248578121069))-π/2
    2×atan(13.0983436228728)-π/2
    2×1.49459860934704-π/2
    2.98919721869407-1.57079632675     		φ = 1.41840089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22580612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.529297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41840089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.268385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4776 KachelY 2968 -2.22580612 1.41840089 -127.529297 81.268385
    Oben rechts KachelX + 1 4777 KachelY 2968 -2.22561438 1.41840089 -127.518311 81.268385
    Unten links KachelX 4776 KachelY + 1 2969 -2.22580612 1.41837178 -127.529297 81.266717
    Unten rechts KachelX + 1 4777 KachelY + 1 2969 -2.22561438 1.41837178 -127.518311 81.266717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41840089-1.41837178) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dl = 185.459810000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41840089-1.41837178) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dr = 185.459810000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22580612--2.22561438) × cos(1.41840089) × R
    0.000191739999999996 × 0.151806240083687 × 6371000     		do = 185.442789705595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22580612--2.22561438) × cos(1.41837178) × R
    0.000191739999999996 × 0.151835012642376 × 6371000     		du = 185.477937559513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41840089)-sin(1.41837178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151806240083687-0.151835012642376)×R²
    abs(-2.22561438--2.22580612)×2.87725586894383e-05×R²
    0.000191739999999996×2.87725586894383e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.87725586894383e-05×40589641000000     		ar = 34395.4438045027m²