Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47759 / 55027
↖ ↑ ↗
← N 27.715142°
W 48.825989°		 ← 270.33 m → N 27.715142°
W 48.823242°		 →
↑
270.39 m
↓
↑
270.39 m
↓
N 27.712710°
W 48.825989°		 ← 270.33 m →
73 094 m²		 N 27.712710°
W 48.823242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364376068115234 y=0.419826507568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364376068115234 × 217)
    floor (0.364376068115234 × 131072)
    floor (47759.5)     		tx = 47759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419826507568359 × 217)
    floor (0.419826507568359 × 131072)
    floor (55027.5)     		ty = 55027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47759 / 55027 ti = "17/47759/55027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47759/55027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47759 ÷ 217
    47759 ÷ 131072     		x = 0.364372253417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55027 ÷ 217
    55027 ÷ 131072     		y = 0.419822692871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364372253417969 × 2 - 1) × π
    -0.271255493164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.85217426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419822692871094 × 2 - 1) × π
    0.160354614257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.50376887810717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85217426} λ = -0.85217426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50376887810717))-π/2
    2×atan(1.65494682450962)-π/2
    2×1.02725840154697-π/2
    2.05451680309395-1.57079632675     		φ = 0.48372048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85217426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.825989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48372048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.715142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47759 KachelY 55027 -0.85217426 0.48372048 -48.825989 27.715142
    Oben rechts KachelX + 1 47760 KachelY 55027 -0.85212633 0.48372048 -48.823242 27.715142
    Unten links KachelX 47759 KachelY + 1 55028 -0.85217426 0.48367804 -48.825989 27.712710
    Unten rechts KachelX + 1 47760 KachelY + 1 55028 -0.85212633 0.48367804 -48.823242 27.712710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48372048-0.48367804) × R
    4.24400000000325e-05 × 6371000     		dl = 270.385240000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48372048-0.48367804) × R
    4.24400000000325e-05 × 6371000     		dr = 270.385240000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85217426--0.85212633) × cos(0.48372048) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.885270747683665 × 6371000     		do = 270.328072611841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85217426--0.85212633) × cos(0.48367804) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.885290484712644 × 6371000     		du = 270.334099551076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48372048)-sin(0.48367804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885270747683665-0.885290484712644)×R²
    abs(-0.85212633--0.85217426)×1.97370289791721e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.97370289791721e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.97370289791721e-05×40589641000000     		ar = 73093.5356006068m²