Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47758 / 80810
↖ ↑ ↗
← S 38.638327°
W 48.828735°		 ← 238.57 m → S 38.638327°
W 48.825989°		 →
↑
238.53 m
↓
↑
238.53 m
↓
S 38.640473°
W 48.828735°		 ← 238.56 m →
56 905 m²		 S 38.640473°
W 48.825989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364368438720703 y=0.616535186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364368438720703 × 217)
    floor (0.364368438720703 × 131072)
    floor (47758.5)     		tx = 47758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616535186767578 × 217)
    floor (0.616535186767578 × 131072)
    floor (80810.5)     		ty = 80810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47758 / 80810 ti = "17/47758/80810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47758/80810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47758 ÷ 217
    47758 ÷ 131072     		x = 0.364364624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80810 ÷ 217
    80810 ÷ 131072     		y = 0.616531372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364364624023438 × 2 - 1) × π
    -0.271270751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85222220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616531372070312 × 2 - 1) × π
    -0.233062744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.732188204796738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85222220} λ = -0.85222220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.732188204796738))-π/2
    2×atan(0.480855627433418)-π/2
    2×0.448215148911163-π/2
    0.896430297822326-1.57079632675     		φ = -0.67436603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85222220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.828735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67436603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.638327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47758 KachelY 80810 -0.85222220 -0.67436603 -48.828735 -38.638327
    Oben rechts KachelX + 1 47759 KachelY 80810 -0.85217426 -0.67436603 -48.825989 -38.638327
    Unten links KachelX 47758 KachelY + 1 80811 -0.85222220 -0.67440347 -48.828735 -38.640473
    Unten rechts KachelX + 1 47759 KachelY + 1 80811 -0.85217426 -0.67440347 -48.825989 -38.640473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67436603--0.67440347) × R
    3.74400000000552e-05 × 6371000     		dl = 238.530240000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67436603--0.67440347) × R
    3.74400000000552e-05 × 6371000     		dr = 238.530240000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85222220--0.85217426) × cos(-0.67436603) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.781102960367727 × 6371000     		do = 238.5689496869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85222220--0.85217426) × cos(-0.67440347) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.781079582200171 × 6371000     		du = 238.561809392774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67436603)-sin(-0.67440347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.781102960367727-0.781079582200171)×R²
    abs(-0.85217426--0.85222220)×2.33781675565981e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.33781675565981e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.33781675565981e-05×40589641000000     		ar = 56905.0572439693m²