Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47758 / 55126
↖ ↑ ↗
← N 27.474161°
W 48.828735°		 ← 270.98 m → N 27.474161°
W 48.825989°		 →
↑
270.96 m
↓
↑
270.96 m
↓
N 27.471724°
W 48.828735°		 ← 270.99 m →
73 425 m²		 N 27.471724°
W 48.825989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364368438720703 y=0.420581817626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364368438720703 × 217)
    floor (0.364368438720703 × 131072)
    floor (47758.5)     		tx = 47758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420581817626953 × 217)
    floor (0.420581817626953 × 131072)
    floor (55126.5)     		ty = 55126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47758 / 55126 ti = "17/47758/55126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47758/55126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47758 ÷ 217
    47758 ÷ 131072     		x = 0.364364624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55126 ÷ 217
    55126 ÷ 131072     		y = 0.420578002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364364624023438 × 2 - 1) × π
    -0.271270751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85222220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420578002929688 × 2 - 1) × π
    0.158843994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.499023125044785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85222220} λ = -0.85222220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499023125044785))-π/2
    2×atan(1.64711146260128)-π/2
    2×1.02515544965517-π/2
    2.05031089931034-1.57079632675     		φ = 0.47951457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85222220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.828735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47951457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.474161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47758 KachelY 55126 -0.85222220 0.47951457 -48.828735 27.474161
    Oben rechts KachelX + 1 47759 KachelY 55126 -0.85217426 0.47951457 -48.825989 27.474161
    Unten links KachelX 47758 KachelY + 1 55127 -0.85222220 0.47947204 -48.828735 27.471724
    Unten rechts KachelX + 1 47759 KachelY + 1 55127 -0.85217426 0.47947204 -48.825989 27.471724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47951457-0.47947204) × R
    4.25299999999851e-05 × 6371000     		dl = 270.958629999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47951457-0.47947204) × R
    4.25299999999851e-05 × 6371000     		dr = 270.958629999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85222220--0.85217426) × cos(0.47951457) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.887218979728911 × 6371000     		do = 270.979513426197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85222220--0.85217426) × cos(0.47947204) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.887238600080216 × 6371000     		du = 270.985505986514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47951457)-sin(0.47947204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887218979728911-0.887238600080216)×R²
    abs(-0.85217426--0.85222220)×1.96203513055382e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.96203513055382e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.96203513055382e-05×40589641000000     		ar = 73425.049595032m²