Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47754 / 55169
↖ ↑ ↗
← N 27.369328°
W 48.839722°		 ← 271.24 m → N 27.369328°
W 48.836975°		 →
↑
271.21 m
↓
↑
271.21 m
↓
N 27.366889°
W 48.839722°		 ← 271.24 m →
73 564 m²		 N 27.366889°
W 48.836975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364337921142578 y=0.420909881591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364337921142578 × 217)
    floor (0.364337921142578 × 131072)
    floor (47754.5)     		tx = 47754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420909881591797 × 217)
    floor (0.420909881591797 × 131072)
    floor (55169.5)     		ty = 55169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47754 / 55169 ti = "17/47754/55169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47754/55169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47754 ÷ 217
    47754 ÷ 131072     		x = 0.364334106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55169 ÷ 217
    55169 ÷ 131072     		y = 0.420906066894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364334106445312 × 2 - 1) × π
    -0.271331787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85241395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420906066894531 × 2 - 1) × π
    0.158187866210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.496961838361122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85241395} λ = -0.85241395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496961838361122))-π/2
    2×atan(1.6437197904821)-π/2
    2×1.02424060890739-π/2
    2.04848121781478-1.57079632675     		φ = 0.47768489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85241395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.839722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47768489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.369328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47754 KachelY 55169 -0.85241395 0.47768489 -48.839722 27.369328
    Oben rechts KachelX + 1 47755 KachelY 55169 -0.85236601 0.47768489 -48.836975 27.369328
    Unten links KachelX 47754 KachelY + 1 55170 -0.85241395 0.47764232 -48.839722 27.366889
    Unten rechts KachelX + 1 47755 KachelY + 1 55170 -0.85236601 0.47764232 -48.836975 27.366889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47768489-0.47764232) × R
    4.2569999999964e-05 × 6371000     		dl = 271.213469999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47768489-0.47764232) × R
    4.2569999999964e-05 × 6371000     		dr = 271.213469999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85241395--0.85236601) × cos(0.47768489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888061614383885 × 6371000     		do = 271.236875738615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85241395--0.85236601) × cos(0.47764232) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888081184049 × 6371000     		du = 271.242852818064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47768489)-sin(0.47764232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888061614383885-0.888081184049)×R²
    abs(-0.85236601--0.85241395)×1.95696651155153e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95696651155153e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95696651155153e-05×40589641000000     		ar = 73563.9048043237m²