Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47753 / 55143
↖ ↑ ↗
← N 27.432728°
W 48.842468°		 ← 271.08 m → N 27.432728°
W 48.839722°		 →
↑
271.09 m
↓
↑
271.09 m
↓
N 27.430290°
W 48.842468°		 ← 271.09 m →
73 487 m²		 N 27.430290°
W 48.839722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364330291748047 y=0.420711517333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364330291748047 × 217)
    floor (0.364330291748047 × 131072)
    floor (47753.5)     		tx = 47753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420711517333984 × 217)
    floor (0.420711517333984 × 131072)
    floor (55143.5)     		ty = 55143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47753 / 55143 ti = "17/47753/55143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47753/55143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47753 ÷ 217
    47753 ÷ 131072     		x = 0.364326477050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55143 ÷ 217
    55143 ÷ 131072     		y = 0.420707702636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364326477050781 × 2 - 1) × π
    -0.271347045898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.85246189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420707702636719 × 2 - 1) × π
    0.158584594726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.498208197751244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85246189} λ = -0.85246189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498208197751244))-π/2
    2×atan(1.64576973329507)-π/2
    2×1.02479387224012-π/2
    2.04958774448025-1.57079632675     		φ = 0.47879142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85246189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.842468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47879142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.432728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47753 KachelY 55143 -0.85246189 0.47879142 -48.842468 27.432728
    Oben rechts KachelX + 1 47754 KachelY 55143 -0.85241395 0.47879142 -48.839722 27.432728
    Unten links KachelX 47753 KachelY + 1 55144 -0.85246189 0.47874887 -48.842468 27.430290
    Unten rechts KachelX + 1 47754 KachelY + 1 55144 -0.85241395 0.47874887 -48.839722 27.430290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47879142-0.47874887) × R
    4.25500000000301e-05 × 6371000     		dl = 271.086050000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47879142-0.47874887) × R
    4.25500000000301e-05 × 6371000     		dr = 271.086050000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85246189--0.85241395) × cos(0.47879142) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.887552371917981 × 6371000     		do = 271.081339982255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85246189--0.85241395) × cos(0.47874887) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.887571974190313 × 6371000     		du = 271.087327020787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47879142)-sin(0.47874887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887552371917981-0.887571974190313)×R²
    abs(-0.85241395--0.85246189)×1.96022723325529e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.96022723325529e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.96022723325529e-05×40589641000000     		ar = 73487.1811970131m²