Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4775 / 3659
↖ ↑ ↗
← N 18.854310°
E 29.838867°		 ← 4 624.30 m → N 18.854310°
E 29.882813°		 →
↑
4 624.84 m
↓
↑
4 624.84 m
↓
N 18.812718°
E 29.838867°		 ← 4 625.45 m →
21 389 282 m²		 N 18.812718°
E 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58294677734375 y=0.44671630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58294677734375 × 213)
    floor (0.58294677734375 × 8192)
    floor (4775.5)     		tx = 4775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44671630859375 × 213)
    floor (0.44671630859375 × 8192)
    floor (3659.5)     		ty = 3659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4775 / 3659 ti = "13/4775/3659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4775/3659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4775 ÷ 213
    4775 ÷ 8192     		x = 0.5828857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3659 ÷ 213
    3659 ÷ 8192     		y = 0.4466552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5828857421875 × 2 - 1) × π
    0.165771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52078648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4466552734375 × 2 - 1) × π
    0.106689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.335174802143433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52078648} λ = 0.52078648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.335174802143433))-π/2
    2×atan(1.39818476955703)-π/2
    2×0.949933060396846-π/2
    1.89986612079369-1.57079632675     		φ = 0.32906979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52078648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.838867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32906979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.854310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4775 KachelY 3659 0.52078648 0.32906979 29.838867 18.854310
    Oben rechts KachelX + 1 4776 KachelY 3659 0.52155347 0.32906979 29.882813 18.854310
    Unten links KachelX 4775 KachelY + 1 3660 0.52078648 0.32834387 29.838867 18.812718
    Unten rechts KachelX + 1 4776 KachelY + 1 3660 0.52155347 0.32834387 29.882813 18.812718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32906979-0.32834387) × R
    0.000725919999999991 × 6371000     		dl = 4624.83631999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32906979-0.32834387) × R
    0.000725919999999991 × 6371000     		dr = 4624.83631999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52078648-0.52155347) × cos(0.32906979) × R
    0.000766989999999912 × 0.946343362249595 × 6371000     		do = 4624.30048966815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52078648-0.52155347) × cos(0.32834387) × R
    0.000766989999999912 × 0.946577703277318 × 6371000     		du = 4625.44559552769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32906979)-sin(0.32834387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946343362249595-0.946577703277318)×R²
    abs(0.52155347-0.52078648)×0.000234341027723239×R²
    0.000766989999999912×0.000234341027723239×6371000²
    0.000766989999999912×0.000234341027723239×40589641000000     		ar = 21389281.7620697m²