Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4775 / 3623
↖ ↑ ↗
← N 20.344627°
E 29.838867°		 ← 4 581.67 m → N 20.344627°
E 29.882813°		 →
↑
4 582.28 m
↓
↑
4 582.28 m
↓
N 20.303418°
E 29.838867°		 ← 4 582.89 m →
20 997 266 m²		 N 20.303418°
E 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58294677734375 y=0.44232177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58294677734375 × 213)
    floor (0.58294677734375 × 8192)
    floor (4775.5)     		tx = 4775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44232177734375 × 213)
    floor (0.44232177734375 × 8192)
    floor (3623.5)     		ty = 3623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4775 / 3623 ti = "13/4775/3623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4775/3623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4775 ÷ 213
    4775 ÷ 8192     		x = 0.5828857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3623 ÷ 213
    3623 ÷ 8192     		y = 0.4422607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5828857421875 × 2 - 1) × π
    0.165771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52078648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4422607421875 × 2 - 1) × π
    0.115478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.362786456324585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52078648} λ = 0.52078648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362786456324585))-π/2
    2×atan(1.43732889397233)-π/2
    2×0.962938526022477-π/2
    1.92587705204495-1.57079632675     		φ = 0.35508073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52078648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.838867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35508073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.344627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4775 KachelY 3623 0.52078648 0.35508073 29.838867 20.344627
    Oben rechts KachelX + 1 4776 KachelY 3623 0.52155347 0.35508073 29.882813 20.344627
    Unten links KachelX 4775 KachelY + 1 3624 0.52078648 0.35436149 29.838867 20.303418
    Unten rechts KachelX + 1 4776 KachelY + 1 3624 0.52155347 0.35436149 29.882813 20.303418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35508073-0.35436149) × R
    0.00071924000000001 × 6371000     		dl = 4582.27804000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35508073-0.35436149) × R
    0.00071924000000001 × 6371000     		dr = 4582.27804000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52078648-0.52155347) × cos(0.35508073) × R
    0.000766989999999912 × 0.937618424793717 × 6371000     		do = 4581.66614133434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52078648-0.52155347) × cos(0.35436149) × R
    0.000766989999999912 × 0.93786823759148 × 6371000     		du = 4582.88684989436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35508073)-sin(0.35436149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937618424793717-0.93786823759148)×R²
    abs(0.52155347-0.52078648)×0.000249812797762594×R²
    0.000766989999999912×0.000249812797762594×6371000²
    0.000766989999999912×0.000249812797762594×40589641000000     		ar = 20997265.8642302m²